Решение уравнений с модулем

Решение уравнений с модулем

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа,  и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.


Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.

Число -5  имеет знак "-" и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x),   если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0

Например |x-3|=x-3,  если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два  различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение  существует на числовом  промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x2+4x-3

1.  Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если  x-3<0, т.е. если х<3

2. Мы получили два числовых промежутка:  х≥3 и х<3.

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При  х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

x-3=-x2+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

x2 -3х=0

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х1=0, х2=3

Внимание! поскольку  уравнение x-3=-x2+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.

Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

3-x=-x2+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

x2-5х+6=0

х1=2, х2=3

Внимание! поскольку  уравнение 3-х=-x2+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х1=2.

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень  х=2.

Ответ:  х=3, х=2

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов (97)

  1. Владимир пишет:

    Скоро сдача ЕГЭ, сохранюка я Ваш сайт :)
    Кстати хороший, красивый сайт! Всё простенько, понятненько, приятненько :)
    Удачи в дальнейшем развитии сайта, не останавливайтесь !!!

    Ответить
    • Инна пишет:

      Спасибо, Владимир! Взаимно!

      Ответить
      • анжелика пишет:

        Подкажите как решить

        Ответить
      • анжелика пишет:

        Подкажите как решить
        х(х²-4)=х²+3

        Ответить
      • анжелика пишет:

        Пожалуйста

        Ответить
  2. Сергей Бочкарев пишет:

    Спасибо, что напомнили. Когда то такие уравнения как орехи щелкал.

    Ответить
  3. Светлана пишет:

    Со школы прошло 20 лет, а для меня уравнения уже подобны китайской грамоте. Вот что значит не применять полученные знания на практике.

    Ответить
  4. Дмитрий пишет:

    Зачем при опускании модуля возводили правую часть возводили в квадрат?
    Спасибо.

    Ответить
    • Инна пишет:

      Если я правильно поняла вопрос: правая часть, которая без модуля, остается без изменений. В каком месте я возвожу ее в квадрат?

      Ответить
      • Сауле пишет:

        Решите уравнение:
        1)10/3 +|х|= 2 2)30/3+ 4|х|= 2

        Ответить
        • Инна пишет:

          |x|=2-10/3<0
          Нет решений.

          Ответить
      • Екатерина пишет:

        Как решить квадратное уравнение: 2х-(х+1)²=3х²-5? подскажите пожалуйста!!!

        Ответить
        • Инна пишет:

          Раскрыть скобки, и перенести все влево. Потом через дискриминант

          Ответить
  5. Дмитрий пишет:

    x-3=-x +4x-3

    Ответить
    • Инна пишет:

      справа всегда стоял квадрат

      Ответить
      • Дмитрий пишет:

        Ааа ,понял,я неправильно прочитал задание ,с мобильника сижу,
        спасибо

        Ответить
  6. Вера пишет:

    Получили результаты ЕГЭ сына. В части С есть задание на решение уравнения с модулем — 0 баллов из 4 за решение. Я не вижу, где ошибка. Учительница смотреть отказалась. М.б. он решил не до конца, но это не 0 .
    М.б. Вы разберете это уравнение?
    уравнение: | 5/x — 3 | = аx — 1
    Задание: При каком значении параметра «а» уравнение будет иметь как минимум 3 корня.
    сын в ответе написал а≥ -1/5 для х≤ 5/3 и а≤ 4/5 для х>5/3.

    Ответить
  7. кристина пишет:

    надо решить уравнение |2-x|=2x помогите как правильно решить!

    Ответить
  8. кристина пишет:

    Спасибо большое

    Ответить
  9. кристина пишет:

    можете помочь при каком значении параметра а уравнение 3|х-1|+2=ах имеет ровно два решения?

    Ответить
    • Инна пишет:

      Приходи на вебинар по параметрам

      Ответить
  10. Кристина пишет:

    В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Известно, что AB=6, AL=3 и площадь треугольника ABL (9=15)/4. В каком отношении BL делит биссектрису угла С?

    Ответить
  11. Вероника пишет:

    |2х-6|-|х-4|=8
    помогите.вроде и решаю тест.но ответа правильного не получаю.где то делаю ошибку.

    Ответить
  12. Вероника пишет:

    |2х-6|-|х-4|=8

    Ответить
  13. Евгений пишет:

    |1-x|+2=0

    Ответить
    • Инна пишет:

      Нет решений: |1-x|>=0; 2>0 — левая часть строго больше 0 при любых х.

      Ответить
  14. Евгений пишет:

    Огромное спасибо!

    Ответить
  15. Евгений пишет:

    |y|*x-|y|=0

    Ответить
    • Инна пишет:

      |y|(x-1)=0 отсюда y=0 или х=1

      Ответить
  16. Таня пишет:

    помогите пожалуйста решить
    ││x-1│-2│+│x│=11

    Ответить
    • Инна пишет:

      1. Раскрыть внутренний модуль |x-1| — рассмотреть два случая, как написано в статье.
      2. В каждом случае решить уравнение с двумя модулями. См. здесь: http://ege-ok.ru/2012/02/03/reshenie-uravneniy-s-modulem-zadaniya-s1-s3/

      Ответить
      • Таня пишет:

        спасибо большое)

        Ответить
  17. Локендр пишет:

    Решите пожалуйста задачу — (x(x-2))/(x-3)=0

    Ответить
    • Инна пишет:

      Числитель равен нулю, а знаменатель не равен.

      Ответить
  18. Крис пишет:

    Помогите пожалуйста решить. |х|+|у|=1 за ранее спасибо)

    Ответить
    • Инна пишет:

      График этого уравнения — ромб с вершинами в точках (0;1); (1;0); (-1;0); (0;-1)

      Ответить
  19. Алина пишет:

    здравствуйте,у меня вот послезавтра вступительный экзамен,спасибо огромное за сайт,ибо два года не занималась алгеброй,а тут вступительный именно по этому предмету)) очень не приятное дело.не могли бы вы подробно изложить решение вот этого «8*3х=243*2х-2степени» буду очень признательна и еще уравнения с корнями где можно найти и разобраться во всем этом.

    Ответить
    • Инна пишет:

      Отправила на почту.

      Ответить
      • инна пишет:

        решить уравнение: (х+у)в квадрате=3(х+3)(х-3)

        Ответить
  20. Вячеслав пишет:

    Помогите решить!
    |2cos*(2x)-5| + |3*cos(2x)-4|=9

    Ответить
    • Инна пишет:

      Оба модуля раскрываем с противоположным знаком (подмодульные выражения отрицательны при всех значениях х).
      Получаем -2cos*(2x)+5 -3*cos(2x)+4=9
      -5cos*(2x)=0
      cos*(2x)=0

      Ответить
  21. АВкА пишет:

    помогите РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ ПОЖАЛУЙСТА уравнение | х — 4 |==2014 и (20 + х)(13- х)=0

    Ответить
    • Инна пишет:

      Модуль равен 2014, если подмодульное выражение равно 2014 или -2014, то есть получаем два уравнения: х-4=2014 или х-4=-2014

      Ответить
  22. АВкА пишет:

    добрый день!помогите решить задачу и так (1+ х).| 2-хI.(3х+4х)х=0 сколько разных чисел есть корнем этого уравнения

    Ответить
    • Инна пишет:

      Нужно каждый множитель приравнять к нулю, выписать все корни, которые при этом получатся, и посмотреть, сколько среди них различных.

      Ответить
  23. юлия пишет:

    помогите решить уравнение |x-a|-2|x-4|=2

    Ответить
  24. настЯ пишет:

    |-0.91|=|X|×|-2.6|

    Ответить
    • Инна пишет:

      |X|×|-2.6|=0,91
      равносильно совокупности:
      X|×|-2.6=0,91 или X|×|-2.6=-0,91
      Теперь раскрыть модуль: рассмотреть 2 случая: х>=0 и x<0

      Ответить
  25. Дмитрий пишет:

    (4x-3|3x-2|+19)(x+1)/(x-5)^2<=0

    Ответить
    • Инна пишет:

      Методом интервалов: числитель и знаменатель приравнять к нулю, нанести на числовую ось и расставить знаки.
      4x-3|3x-2|+19=0
      3|3x-2|=(4х-10)
      3(3x-2)=(4х-10) или 3(3x-2)=-(4х-10) при условии, что (4х-10)>=0
      http://ege-ok.ru/2012/01/05/reshenie-ratsionalnyih-neravenstv-met/

      Ответить
  26. Диана пишет:

    решите уравнение х(х+2)=3

    Ответить
  27. вика пишет:

    помогите пожалуйста срочно решить систему уравнения у=88*3^х
    у=модуль/х+2/-1

    Ответить
  28. вика пишет:

    помогите решить систему уравнения
    у=кореньх^2-6х+9 -2
    х=3-у

    Ответить
    • Инна пишет:

      х^2-6х+9=(x-3)^2
      корень(х^2-6х+9)=корень (x-3)^2=|x-3|
      Получаем
      y=|x-3|-2
      y=3-x
      Получаем уравнение |x-3|-2=3-x

      Ответить
  29. Марина пишет:

    День добрый. Пожалуйста, помогите решить уравнение ||x+2|+3|=4

    Ответить
    • Инна пишет:

      |x+2|+3=4 или |x+2|+3=-4 — нет решений
      |x+2|+3=4; |x+2|=1

      Ответить
  30. Ирина пишет:

    Здравствуйте, помогите решить. Само решение я знаю, 6 и -6. Не могу понять как к этому ответу придти. Не могли бы Вы написать целое решение.

    корень(|x|+3)+корень(3|х|-2)=7

    Ответить
  31. Богдана пишет:

    Здраствуйте,не могли бы вы мне подсказать как решить уровнения:х в модуле=-9.

    Ответить
    • Инна пишет:

      Это уравнение не имеет решений: |x| всегда больше или равен нулю при любом х

      Ответить
  32. Вера пишет:

    Решите пожалуйста уравнение
    |x-6|=x

    Ответить
    • Инна пишет:

      Нужно рассмотреть два случая: x-6 больше или равно 0, и х-6 меньше 0

      Ответить
  33. Арсений пишет:

    Решите пожалуйста уравнение
    |6-x|=7,3

    Ответить
    • Инна пишет:

      Это уравнение распадается на 2:
      6-x=7,3 или 6-x=-7,3

      Ответить
  34. анжелика пишет:

    х(х²-4)=х²+3

    Ответить
    • Инна пишет:

      Раскрыть скобки и записать уравнение в виде: x^3=x^2+4x+3
      Построить график левой части и правой.

      Ответить
  35. анжелика пишет:

    Решите пожалуйста
    Уравнения

    Ответить
  36. Евгения пишет:

    Помогите пожалуйста,
    (x+1)(x-6)/(x+1)(x-3)=0
    Из головы вылетело как решать((

    Ответить
    • Инна пишет:

      Числитель равен нулю, а знаменатель не равен.
      Остается один корень: х=6 (х=-1 является также корнем знаменателя, поэтому не подходит)

      Ответить
  37. Евгений пишет:

    x/(x^2-3|x|)=1

    Ответить
  38. Светлана пишет:

    Помогите пожалуйста заданием, спасибо.
    ǀх-1ǀ=ǀ1-хǀ

    Ответить
    • Инна пишет:

      Так как |x|=|-x| при любом х, получаем в этом уравнении, что х- любое число

      Ответить
  39. Маша пишет:

    Помогите пожелуйста решить |×|-×=0

    Ответить
    • Инна пишет:

      |x|=x
      По определению модуля равенство выполняется, если x>=0

      Ответить
      • Андрей пишет:

        как можно объснить такое решение
        Решаем урок данный в качестве примера в классе

        |x-6|=9
        пишут
        х-6=0
        х=6
        х>=6 х=6
        х-6=9
        х=15 отмечают (+) слева от точки 6 на координатоной прямой
        Пишут
        15>=6 — верно

        2. -(х-6)=9
        -х+6=9
        -х=3
        х=-3 ставят значение +
        Пишут -3<6 — верно

        Ответ -3; 15

        ПАМАГИТЕ НАЙТИ ОПИСАНИЕ ОБЪЯСНЕНИЕ ЭТОГО АЦЦКОГО РЕШЕНИЯ.
        НИГДЕ НЕ СМОГ НАЙТЕ, НЕ МОГУ ОБЪЯСНИТЬ РЕБЕНКУ :-(((

        ОЧЕНЬ НАДЕЮСЬ НА ВАШ ОПЕРАТИВНЫЙ ОТВЕТ :((((

        Ответить
  40. Евгений пишет:

    Помогите решить |y|=x^2-|x|

    Ответить
    • Инна пишет:

      Сначала раскрыть |y|:
      Если у больше или равен 0, то получаем уравнение у=x^2-|x|
      Если у<0, то получаем уравнение -у=x^2-|x|
      Затем в каждом случает раскрыть |x|

      Ответить
      • Евгений пишет:

        Спасибо огромное

        Ответить
  41. Кристина пишет:

    1. |x-2|=2(3+x)

    2. |2x+5|=1
    Заранее спасибо!

    Ответить
    • Инна пишет:

      1. x-2=2(3+x) при условии что x-2 >=0 или
      -(x-2)=2(3+x) при условии что x-2 <0
      2. 2x+5=1 или 2x+5=-1

      Ответить
  42. Алла пишет:

    как решить неравенства?
    |x+1|>0
    |x^2-x|-1>0
    |x^2-x|-1≠0

    Ответить
    • Инна пишет:

      x+1|>0 x не равно -1
      |x^2-x|-1>0; |x^2-x|>1: отсюда x^2-x>1 или x^2-x<-1
      |x^2-x|-1≠0; |x^2-x|≠1 отсюда x^2-x≠1 или x^2-x≠-1

      Ответить
  43. Анастасия пишет:

    Помоги плз пожалуйста с решением x в квадрате плюс один равно нулю решить в комплексном решении, и cos x < 0

    Ответить
  44. Соня пишет:

    Подскажите как решить?
    |х|=|у| и -1≤ х ≤ 1

    Ответить
    • Инна пишет:

      А что нужно сделать?

      Ответить
  45. Кристина пишет:

    Помогите пожалуйста решить уравнение 10:|х|- 5,08 = -0,08

    Ответить
    • Инна пишет:

      10:|х|=5,08-0,08
      10:|х|=5
      |x|=2
      x=2 или х=-2

      Ответить
  46. Кристина пишет:

    Помогите пожалуйста решить уравнение 10:|х|-5,08=-0,08

    Ответить
  47. Наталья пишет:

    Инна Владимировна, здравствуйте! Объясните, пожалуйста,задание по ГИА. Постройте график функции y=x^2-3|x|+2. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

    Ответить
    • Инна пишет:

      1. Чертим график. Раскрываем модуль:
      а) рассматриваем промежуток х>=0 На этом промежутке строим y=x^2-3x+2
      б) рассматриваем промежуток х<0 На этом промежутке строим y=x^2+3x+2
      Затем двигаем горизонтальную прямую у=а вдоль полученного графика, и смотрим, какое наибольшее число точек пересечения с графиком она может иметь

      Ответить
      • Наталья пишет:

        Большое спасибо! Вызывало затруднение нахождение точек пересечения.

        Ответить
        • Инна пишет:

          Их не надо было находить. Вопрос: Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
          Нужно в ответе указать число точек

          Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>