Решение уравнений с модулем


Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа,  и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.


Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.

Число -5  имеет знак «-» и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x),   если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= – f(x), если f(x) < 0

Например |x-3|=x-3,  если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два  различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение  существует на числовом  промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x2+4x-3

1.  Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если  x-3<0, т.е. если х<3

2. Мы получили два числовых промежутка:  х≥3 и х<3.

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При  х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

x-3=-x2+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

x2 -3х=0

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х1=0, х2=3

Внимание! поскольку  уравнение x-3=-x2+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.

Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

3-x=-x2+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

x2-5х+6=0

х1=2, х2=3

Внимание! поскольку  уравнение 3-х=-x2+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х1=2.

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго – корень  х=2.

Ответ:  х=3, х=2

 

Другие записи из категории "РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ, УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ":

Отзывов (62)

  1. Скоро сдача ЕГЭ, сохранюка я Ваш сайт :)
    Кстати хороший, красивый сайт! Всё простенько, понятненько, приятненько :)
    Удачи в дальнейшем развитии сайта, не останавливайтесь !!!

  2. Спасибо, что напомнили. Когда то такие уравнения как орехи щелкал.

  3. Со школы прошло 20 лет, а для меня уравнения уже подобны китайской грамоте. Вот что значит не применять полученные знания на практике.

  4. Дмитрий:

    Зачем при опускании модуля возводили правую часть возводили в квадрат?
    Спасибо.

  5. Дмитрий:

    x-3=-x +4x-3

  6. Вера:

    Получили результаты ЕГЭ сына. В части С есть задание на решение уравнения с модулем – 0 баллов из 4 за решение. Я не вижу, где ошибка. Учительница смотреть отказалась. М.б. он решил не до конца, но это не 0 .
    М.б. Вы разберете это уравнение?
    уравнение: | 5/x – 3 | = аx – 1
    Задание: При каком значении параметра «а» уравнение будет иметь как минимум 3 корня.
    сын в ответе написал а≥ -1/5 для х≤ 5/3 и а≤ 4/5 для х>5/3.

  7. кристина:

    надо решить уравнение |2-x|=2x помогите как правильно решить!

  8. кристина:

    Спасибо большое

  9. кристина:

    можете помочь при каком значении параметра а уравнение 3|х-1|+2=ах имеет ровно два решения?

  10. Кристина:

    В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Известно, что AB=6, AL=3 и площадь треугольника ABL (9=15)/4. В каком отношении BL делит биссектрису угла С?

  11. Вероника:

    |2х-6|-|х-4|=8
    помогите.вроде и решаю тест.но ответа правильного не получаю.где то делаю ошибку.

  12. Вероника:

    |2х-6|-|х-4|=8

  13. Евгений:

    |1-x|+2=0

  14. Евгений:

    Огромное спасибо!

  15. Евгений:

    |y|*x-|y|=0

  16. Таня:

    помогите пожалуйста решить
    ││x-1│-2│+│x│=11

  17. Локендр:

    Решите пожалуйста задачу – (x(x-2))/(x-3)=0

  18. Крис:

    Помогите пожалуйста решить. |х|+|у|=1 за ранее спасибо)

  19. Алина:

    здравствуйте,у меня вот послезавтра вступительный экзамен,спасибо огромное за сайт,ибо два года не занималась алгеброй,а тут вступительный именно по этому предмету)) очень не приятное дело.не могли бы вы подробно изложить решение вот этого «8*3х=243*2х-2степени» буду очень признательна и еще уравнения с корнями где можно найти и разобраться во всем этом.

  20. Вячеслав:

    Помогите решить!
    |2cos*(2x)-5| + |3*cos(2x)-4|=9

    • Инна:

      Оба модуля раскрываем с противоположным знаком (подмодульные выражения отрицательны при всех значениях х).
      Получаем -2cos*(2x)+5 -3*cos(2x)+4=9
      -5cos*(2x)=0
      cos*(2x)=0

  21. АВкА:

    помогите РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ ПОЖАЛУЙСТА уравнение | х – 4 |==2014 и (20 + х)(13- х)=0

    • Инна:

      Модуль равен 2014, если подмодульное выражение равно 2014 или -2014, то есть получаем два уравнения: х-4=2014 или х-4=-2014

  22. АВкА:

    добрый день!помогите решить задачу и так (1+ х).| 2-хI.(3х+4х)х=0 сколько разных чисел есть корнем этого уравнения

    • Инна:

      Нужно каждый множитель приравнять к нулю, выписать все корни, которые при этом получатся, и посмотреть, сколько среди них различных.

  23. юлия:

    помогите решить уравнение |x-a|-2|x-4|=2

    • Инна:

      |X|×|-2.6|=0,91
      равносильно совокупности:
      X|×|-2.6=0,91 или X|×|-2.6=-0,91
      Теперь раскрыть модуль: рассмотреть 2 случая: х>=0 и x<0

  24. Дмитрий:

    (4x-3|3x-2|+19)(x+1)/(x-5)^2<=0

  25. Диана:

    решите уравнение х(х+2)=3

  26. помогите пожалуйста срочно решить систему уравнения у=88*3^х
    у=модуль/х+2/-1

  27. помогите решить систему уравнения
    у=кореньх^2-6х+9 -2
    х=3-у

    • Инна:

      х^2-6х+9=(x-3)^2
      корень(х^2-6х+9)=корень (x-3)^2=|x-3|
      Получаем
      y=|x-3|-2
      y=3-x
      Получаем уравнение |x-3|-2=3-x

  28. Марина:

    День добрый. Пожалуйста, помогите решить уравнение ||x+2|+3|=4

  29. Ирина:

    Здравствуйте, помогите решить. Само решение я знаю, 6 и -6. Не могу понять как к этому ответу придти. Не могли бы Вы написать целое решение.

    корень(|x|+3)+корень(3|х|-2)=7

  30. Здраствуйте,не могли бы вы мне подсказать как решить уровнения:х в модуле=-9.

  31. Вера:

    Решите пожалуйста уравнение
    |x-6|=x

  32. Арсений:

    Решите пожалуйста уравнение
    |6-x|=7,3

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>