Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Решение уравнений с модулем

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа,  и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.

Число -5  имеет знак "-" и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x),   если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0

Например |x-3|=x-3,  если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два  различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение  существует на числовом  промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x2+4x-3

1.  Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если  x-3<0, т.е. если х<3

2. Мы получили два числовых промежутка:  х≥3 и х<3.

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При  х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

x-3=-x2+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

x2 -3х=0

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х1=0, х2=3

Внимание! поскольку  уравнение x-3=-x2+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.

Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

3-x=-x2+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

x2-5х+6=0

х1=2, х2=3

Внимание! поскольку  уравнение 3-х=-x2+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х1=2.

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень  х=2.

Ответ:  х=3, х=2

 

Решение уравнений с модулем

Отзывов (179)

  1. Марина

    Здравствуйте,Инна.Как умножить модуль на квадратное уравнение?
    Спасибо.

    • Инна

      Нужно раскрыть модуль: рассмотреть случаи, когда подмодульное выражение больше нуля и когда меньше нуля.

  2. Андрей

    Если модуль в модуле. ||x| — 1| * |x| / x^2 — 1 ==> x -(x + 1) * (-x) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

    -1 < x |-x — 1| * (-x) / (x^2 — 1) ==> -(x + 1) * (-x) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

    0 <= x -(x — 1) * x / (x^2 — 1) ==> -x(x — 1) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

    Не до конца понимаю, как правильно раскрыть модуль в модуле, и, соответственно, какой знак внутри модуля в который вложен другой модуль…

    • Инна

      В этом примере проще ввести замену: , тогда получится выражение с одним модулем. В общем случае сначала раскрываем внутренний модуль, потом внешний. При раскрытии модуля необходимо указывать промежуток, на котором мы находимся. Например: . Cначала рассматриваем случай , Получаем систему: . И теперь система разбивается на совокупность двух систем: и . Так же рассматриваем второй случай, когда .

      • Андрей

        ОДЗ +- 1;

        Внутренний модуль |x| может быть x >= 0, x = 0, |x — 1| = 0, 0 <= x < 1, |x — 1|* x = -x(x — 1)/(x — 1)(x + 1).
        Второй случай x < 0 |-(x) — 1| * (-x) = тут мне не ясно, знак -x выносится за скобки или происходит арифметическое действие внутри модуля-скобок т.е. -x — 1 < 0 = -(x + 1)….

        Я так решал, но ответ не верен, и, понять, как получается правильный ответ, я не могу. https://b.radikal.ru/b03/2011/21/d7a886752231.jpg

  3. Юлия

    Здравствуйте, Инна! обязательно ли при раскрытии модуля чередовать знак равно? Например, в первом случае х больше или равно трех, а в другом — строго меньше трех.

    • Инна

      Нет, не обязательно. Если конец промежутка входит в область допустимых значений, то его можно включать в оба промежутка.

      • Юлия

        спасибо большое

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *