Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Касательная к графику функции. Задача с параметром.

Задание 7 (№ 119973)  из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Прямая y=-5x+8 является касательной к графику функции y=28x^2+bx+15 . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение.

Для начала, как обычно,  вспомним теорию, и "вытащим" из условия задачи все факты, которые помогут ее решению.

1.  Так как прямая y=-5x+8 является касательной к графику функции y=28x^2+bx+15, следовательно:

а) Производная функции y=28x^2+bx+15 в точке касания равна коэффициенту наклона прямой y=-5x+8 .

То есть y'=-5

Найдем производную функции y=28x^2+bx+15:

y'=56x+b

Получаем: 56x+b=-5,

Так как на значение абсциссы точки касания накладывается дополнительное условие (абсцисса точки касания больше 0), выразим переменную х через параметр b

x={-5-b}/56.

б) Прямая является касательной к параболе, если имеет с ней одну общую точку.

Чтобы найти точку пересечения прямой y=-5x+8 и параболы y=28x^2+bx+15, нужно составить систему уравнений

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y=-5x+8} {y=28x^2+bx+15} }}{ }

В конечном итоге, нам нужно определить, при каком значении параметра b  эта система имеет единственное решение.

Приравняем правые части уравнений системы:

28x^2+bx+15=-5x+8

Перенесем все слагаемые влево и сгруппируем:

28x^2+(b+5)x+7=0 

Мы получили квадратное уравнение, которое имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю. Приравняем дискриминант к нулю:

D={(b+5)}^2-4*7*28=0

D={(b+5)}^2-16*49=0

Решим квадратное уравнение:

{(b+5)}^2-16*49=0

b^2+10b+25-784=0

b^2+10b-759=0

b_{12}={-10{pm}sqrt{100+4*759}}/2={-10{pm}56}/2

Отсюда b_1=23,  b_2=-33.

По условию задачи абсцисса точки касания больше 0.

Вспомним, как мы выразили абсциссу точки касания через параметр  b:

x={-5-b}/56

Подставим значения параметра b в это равенство.

а)  {b_1}=23,     x={-5-23}/56<0

б)  {b_2}=-33,     x={-5+33}/56>0 

Нас устраивает случай б)

Ответ:  b_2=-33

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox


И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Касательная к графику функции. Задача с параметром.

Отзывов (18)

  1. Алена

    Никак не могу понять. А из каких цифр мы находим b1 и b2?Объясните пожалуйста.

    • Инна

      Я дописала решение, перечитай

  2. Денис

    Добрый день , что то я не понял откуда вышло это равенство д=(б+5)»2-16*49

    • Инна

      Выпишите коэффициенты уравнения: a=28, второй коэффициент (при х) b+5, с=7
      По формуле для дискриминатна получает равенство.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *