Логарифм. Свойства логарифмов
Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения и и мы хотим найти значение .
То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .
Пусть переменная может принимать любое действительное значение, тогда на переменные и накладываются такие ограничения: , ,
Если нам известны значения и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое действие, которое называется логарифмирование.
Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа по основанию :
Итак,
Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .
То есть основное логарифмическое тождество:
, ,
является по сути математической записью определения логарифма.
Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.
Перечислим основные свойства логарифмов:
( , , , ,
1.
2.
3.
4.
5.
Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:
6.
7.
8.
9.
Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:
10.
11.
12. (следствие из свойства 11)
Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:
13.
14.
15.
Частные случаи:
- десятичный логарифм
- натуральный логарифм
При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:
1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.
2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.
3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.
4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.
5. Применяем свойства логарифмов.
Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.
Пример 1.
Вычислить:
Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.
==(по свойству 7)=(по свойству 6) =
Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:
Ответ: 5,25
Пример 2. Вычислить:
Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби "перекочуют" в числитель):
Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:
Применим свойства 4 и 6:
Введем замену
Получим:
Ответ: 1
Скачать таблицу логарифм и его свойства
Здравствуйте Инна
http://floomby.ru/s2/AgB9n5
Могли бы вы мне, пожалуйста, помочь с решением данного уравнения?
Нужно найти ОДЗ уравнения. Получится, что ОДЗ содержит единственную точку х=2, она и будет решением.
Здравствуйте! Не могли бы вы привести доказательство свойств №13 и 14?
В 13 возьмите от обеих частей равенства логарифм по основанию а и получите верное равенство
14.
спасибо!
Как быть, если степень не 2, а 11/12, например?
Добрый день !
У вас в таблице «логарифм и его свойства» в пункте «следствие»,3-я строка, вкралась ошибка…?!
Сайт очень полезный , спасибо !
Любовь, я не нашла ошибку. Можете указать более конкретно?
5^(2−log^(11/12) трех по основанию 5).Подскажите, пожалуйста, как здесь быть.