Производная. Физический смысл производной. Задание В8 (2015)

В этой статье мы познакомимся с понятием производной функции, с  физическим смыслом производной и решим несколько задач из Задания В9 из Открытого банка задач для подготовки к ЕГЭ по математике на использование физического смысла производной.

Чтобы понять, что такое производная, проведем аналогию с мгновенной скоростью. Рассмотрим материальную точку, которая движется по прямой с переменной скоростью. Поскольку  скорость точки все время меняется, мы можем говорить о ее скорости  только в данный момент времени t_0. Чтобы найти скорость точки в момент  времени t_0, рассмотрим маленький промежуток времени Delta{t}. За этот промежуток времени точка пройдет расстояние Delta{S}. Тогда скорость точки будет примерно равна  {Delta{S}}/{Delta{t}}. Чем меньше промежуток времени Delta{t}мы будем брать, тем точнее значение скорости мы получим. В пределе, при Delta{t}right{0}, мы получим точное значение мгновенной скорости в момент времени t_0:

V= lim{Delta{t}right{0}}{{Delta{S}}/{Delta{t}}}

Аналогичным образом введем понятие производной.

Рассмотрим произвольную функцию  f(x) и зафиксируем точку x_0. Значение функции в этой точке равно f(x_0). Возьмем приращение аргумента Delta{x}. Значение функции в этой точке равно f(x_0+Delta{x}).  Получим приращение функции  Delta{f}=f({x_0+Delta{x}})-f({x_0})

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Физический смысл производной.

Итак, мы видим, что по аналогии с мгновенной скоростью, производная функции в точке x_0. показывает скорость изменения функции в этой точке.

Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию S(x), то, чтобы найти скорость тела в момент времени t_0, нужно найти значение производной функции  S(x) в точке t_0:

v({t_0})={S}prime{(t_0)} 

Пример 1. Решим задание В9 (№ 119975) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике. 

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=6t^2-48t+17 , где  x(t)— расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9c .

Решение.

1. Найдем производную функции x(t)=6t^2-48t+17:

{x}prime(t)=12t-48

2. Найдем значение производной в точке t=9:

{x}prime(9)=12*9-48

{x}prime(9)=60

Ответ: 60 м/с.

Пример 2. Решим задание В9 (№ 119978)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t^2-13t+23  , где x(t) — расстояние от точки отсчета в метрах,  t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Если нам известна скорость точки в некий момент времени , следовательно нам известно значение производной в точке  t_0.

Найдем производную функции x(t)=t^2-13t+23

{x}prime(t)=2t-13

По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной в момент времени t_0 равно 3.

Получаем уравнение:

{x}prime(t_0)=2t_0-13=3

Отсюда  t_0=8 с.

Ответ: 8

Пример 3. Аналогичное задание.  Задание В9 (№119979)

Материальная точка движется прямолинейно по закону {1/3}t^3-3t^2-5t+3, где  x(t)— расстояние от точки отсчета в метрах,  t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение.

Найдем производную функции  {1/3}t^3-3t^2-5t+3:

{x}prime(t)= t^2-6t-5

По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени t_0 равно 2.

Получаем уравнение:

{x}prime(t_0)= {t_0}^2-6{t_0}-5=2

Решим его:

{t_0}^2-6{t_0}-5=2

{t_0}^2-6{t_0}-5-2=0

{t_0}^2-6{t_0}-7=0

t_1=7t_2=-1 - не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.

Ответ: 7

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox


И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов (11)

  1. Юлия

    отличная помощь школьникам, коротко и понятно!

    Ответить
    • Роман

      А мне кажется это отличная помощь не школьникам, а роботам. Которых учат знать много непонятных слов и запоминать формулы. Если Вы со мной несогласны, то объясните мне смысл производной без этого абстрактного дерьма (простите за грубость): Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. (прямо представляю какой огонь интереса зажигается в глазах 9ти классника после этой фразы)

      Объясните на простых словах, человеку далекому от математики, для чего мне все это надо (желательно с примерами не про скорость «материальной точки» (кстати что это?), а из реальной жизни). И подумайте, часто ли учителя объясняют это своим ученикам.

      Ответить
      • Инна

        Хороший вопрос.) А надо вот зачем. Если какой-то процесс описывается некоторой функций, которая выражает зависимость одного параметра от другого, то производная этой функции — скорость этого процесса.
        Спасибо, Роман, за идею. Надо писать статьи под рубрикой «зачем это надо»

        Ответить
      • любовь

        Есть учащиеся, которые учатся осознанно, интересуются, задают вопросы, развиваются. Есть ученики: принимают только то, что дает учитель, не больше. И есть, как ты говоришь, школьники, которые просто ходят в школу, а не учатся. Вот им ничего не нужно: сидели бы на печи, если бы мамка из дома не выгоняла каждое утро и все. Ты, Рома, кто???

        Ответить
        • Марина

          Любовь вы это зря. Правда в том, что в жизни это редко кому пригодится. Я не против знаний. Мой сын Руслан учится на отделении радиоэлектроника. Ему понятно всё и просто. Но большинству ребят не нужны такие глубокие познания. Я до сих пор учусь, правда мне роднее электротехника.Работаю электромехаником на тяговой подстанции.

          Ответить
  2. Сергей

    Думаю для студентов нужный сайт

    Ответить
  3. Виктория

    Спасибо за информацию. Очень люблю точные науки. По жизни — технарь.

    Ответить
  4. Школа Ясности

    Вот интересная статья для понимания производной: «Производная — на примере с банковским счётом«

    Ответить
  5. Алла

    Сайт супер!Всё ясно и понятно)

    Ответить
  6. Паша

    как вы нашли т1 и т2 расскажите подробней?

    Ответить
    • Инна

      Нужно решить квадратное уравнение.

      Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *