Производная. Физический смысл производной. Задание В9 (2014)


В этой статье мы познакомимся с понятием производной функции, с  физическим смыслом производной и решим несколько задач из Задания В9 из Открытого банка задач для подготовки к ЕГЭ по математике на использование физического смысла производной.

Чтобы понять, что такое производная, проведем аналогию с мгновенной скоростью. Рассмотрим материальную точку, которая движется по прямой с переменной скоростью. Поскольку  скорость точки все время меняется, мы можем говорить о ее скорости  только в данный момент времени t_0. Чтобы найти скорость точки в момент  времени t_0, рассмотрим маленький промежуток времени Delta{t}. За этот промежуток времени точка пройдет расстояние Delta{S}. Тогда скорость точки будет примерно равна  {Delta{S}}/{Delta{t}}. Чем меньше промежуток времени Delta{t}мы будем брать, тем точнее значение скорости мы получим. В пределе, при Delta{t}right{0}, мы получим точное значение мгновенной скорости в момент времени t_0:


V= lim{Delta{t}right{0}}{{Delta{S}}/{Delta{t}}}

Аналогичным образом введем понятие производной.

Рассмотрим произвольную функцию  f(x) и зафиксируем точку x_0. Значение функции в этой точке равно f(x_0). Возьмем приращение аргумента Delta{x}. Значение функции в этой точке равно f(x_0+Delta{x}).  Получим приращение функции  Delta{f}=f({x_0+Delta{x}})-f({x_0})

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Физический смысл производной.

Итак, мы видим, что по аналогии с мгновенной скоростью, производная функции в точке x_0. показывает скорость изменения функции в этой точке.

Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию S(x), то, чтобы найти скорость тела в момент времени t_0, нужно найти значение производной функции  S(x) в точке t_0:

v({t_0})={S}prime{(t_0)} 

Пример 1. Решим задание В9 (№ 119975) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике. 

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=6t^2-48t+17 , где  x(t)— расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9c .

Решение.

1. Найдем производную функции x(t)=6t^2-48t+17:

{x}prime(t)=12t-48

2. Найдем значение производной в точке t=9:

{x}prime(9)=12*9-48

{x}prime(9)=60

Ответ: 60 м/с.

Пример 2. Решим задание В9 (№ 119978)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t^2-13t+23  , где x(t) — расстояние от точки отсчета в метрах,  t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Если нам известна скорость точки в некий момент времени , следовательно нам известно значение производной в точке  t_0.

Найдем производную функции x(t)=t^2-13t+23

{x}prime(t)=2t-13

По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной в момент времени t_0 равно 3.

Получаем уравнение:

{x}prime(t_0)=2t_0-13=3

Отсюда  t_0=8 с.

Ответ: 8

Пример 3. Аналогичное задание.  Задание В9 (№119979)

Материальная точка движется прямолинейно по закону {1/3}t^3-3t^2-5t+3, где  x(t)— расстояние от точки отсчета в метрах,  t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение.

Найдем производную функции  {1/3}t^3-3t^2-5t+3:

{x}prime(t)= t^2-6t-5

По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени t_0 равно 2.

Получаем уравнение:

{x}prime(t_0)= {t_0}^2-6{t_0}-5=2

Решим его:

{t_0}^2-6{t_0}-5=2

{t_0}^2-6{t_0}-5-2=0

{t_0}^2-6{t_0}-7=0

t_1=7t_2=-1 – не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.

Ответ: 7

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox


И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Другие записи из категории "B09 (2014), ПРОИЗВОДНАЯ":

Отзывов (8)

  1. отличная помощь школьникам, коротко и понятно!

    • Роман:

      А мне кажется это отличная помощь не школьникам, а роботам. Которых учат знать много непонятных слов и запоминать формулы. Если Вы со мной несогласны, то объясните мне смысл производной без этого абстрактного дерьма (простите за грубость): Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. (прямо представляю какой огонь интереса зажигается в глазах 9ти классника после этой фразы)

      Объясните на простых словах, человеку далекому от математики, для чего мне все это надо (желательно с примерами не про скорость «материальной точки» (кстати что это?), а из реальной жизни). И подумайте, часто ли учителя объясняют это своим ученикам.

      • Инна:

        Хороший вопрос.) А надо вот зачем. Если какой-то процесс описывается некоторой функций, которая выражает зависимость одного параметра от другого, то производная этой функции – скорость этого процесса.
        Спасибо, Роман, за идею. Надо писать статьи под рубрикой «зачем это надо»

      • любовь:

        Есть учащиеся, которые учатся осознанно, интересуются, задают вопросы, развиваются. Есть ученики: принимают только то, что дает учитель, не больше. И есть, как ты говоришь, школьники, которые просто ходят в школу, а не учатся. Вот им ничего не нужно: сидели бы на печи, если бы мамка из дома не выгоняла каждое утро и все. Ты, Рома, кто???

        • Марина:

          Любовь вы это зря. Правда в том, что в жизни это редко кому пригодится. Я не против знаний. Мой сын Руслан учится на отделении радиоэлектроника. Ему понятно всё и просто. Но большинству ребят не нужны такие глубокие познания. Я до сих пор учусь, правда мне роднее электротехника.Работаю электромехаником на тяговой подстанции.

  2. Думаю для студентов нужный сайт

  3. Спасибо за информацию. Очень люблю точные науки. По жизни – технарь.

  4. Вот интересная статья для понимания производной: «Производная — на примере с банковским счётом«

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>