В этой статье мы познакомимся с понятием производной функции, с физическим смыслом производной и решим несколько задач из Задания В9 из Открытого банка задач для подготовки к ЕГЭ по математике на использование физического смысла производной.
Чтобы понять, что такое производная, проведем аналогию с мгновенной скоростью. Рассмотрим материальную точку, которая движется по прямой с переменной скоростью. Поскольку скорость точки все время меняется, мы можем говорить о ее скорости только в данный момент времени . Чтобы найти скорость точки в момент времени , рассмотрим маленький промежуток времени . За этот промежуток времени точка пройдет расстояние . Тогда скорость точки будет примерно равна . Чем меньше промежуток времени мы будем брать, тем точнее значение скорости мы получим. В пределе, при , мы получим точное значение мгновенной скорости в момент времени :
Аналогичным образом введем понятие производной.
Рассмотрим произвольную функцию и зафиксируем точку . Значение функции в этой точке равно . Возьмем приращение аргумента . Значение функции в этой точке равно . Получим приращение функции
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Физический смысл производной.
Итак, мы видим, что по аналогии с мгновенной скоростью, производная функции в точке . показывает скорость изменения функции в этой точке.
Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию , то, чтобы найти скорость тела в момент времени , нужно найти значение производной функции в точке :
Пример 1. Решим задание В9 (№ 119975) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени .
Решение.
1. Найдем производную функции :
2. Найдем значение производной в точке :
Ответ: 60 м/с.
Пример 2. Решим задание В9 (№ 119978)
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Решение.
Если нам известна скорость точки в некий момент времени , следовательно нам известно значение производной в точке .
Найдем производную функции
По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 3.
Получаем уравнение:
Отсюда с.
Ответ: 8
Пример 3. Аналогичное задание. Задание В9 (№119979)
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Решение.
Найдем производную функции :
По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 2.
Получаем уравнение:
Решим его:
, - не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.
Ответ: 7
отличная помощь школьникам, коротко и понятно!
А мне кажется это отличная помощь не школьникам, а роботам. Которых учат знать много непонятных слов и запоминать формулы. Если Вы со мной несогласны, то объясните мне смысл производной без этого абстрактного дерьма (простите за грубость): Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. (прямо представляю какой огонь интереса зажигается в глазах 9ти классника после этой фразы)
Объясните на простых словах, человеку далекому от математики, для чего мне все это надо (желательно с примерами не про скорость «материальной точки» (кстати что это?), а из реальной жизни). И подумайте, часто ли учителя объясняют это своим ученикам.
Хороший вопрос.) А надо вот зачем. Если какой-то процесс описывается некоторой функций, которая выражает зависимость одного параметра от другого, то производная этой функции — скорость этого процесса.
Спасибо, Роман, за идею. Надо писать статьи под рубрикой «зачем это надо»
Есть учащиеся, которые учатся осознанно, интересуются, задают вопросы, развиваются. Есть ученики: принимают только то, что дает учитель, не больше. И есть, как ты говоришь, школьники, которые просто ходят в школу, а не учатся. Вот им ничего не нужно: сидели бы на печи, если бы мамка из дома не выгоняла каждое утро и все. Ты, Рома, кто???
Любовь вы это зря. Правда в том, что в жизни это редко кому пригодится. Я не против знаний. Мой сын Руслан учится на отделении радиоэлектроника. Ему понятно всё и просто. Но большинству ребят не нужны такие глубокие познания. Я до сих пор учусь, правда мне роднее электротехника.Работаю электромехаником на тяговой подстанции.
Думаю для студентов нужный сайт
Спасибо за информацию. Очень люблю точные науки. По жизни — технарь.
Вот интересная статья для понимания производной: «Производная — на примере с банковским счётом «
Сайт супер!Всё ясно и понятно)
как вы нашли т1 и т2 расскажите подробней?
Нужно решить квадратное уравнение.
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, а какие действия нужно выполнить, чтобы по заданному уравнению (например, уравнение прямолинейного движения материальной точки x(t)) узнать в какой момент времени t скорость тела V была максимальная?
Берем производную от функции зависимости расстояния от времени, получаем функцию зависимости скорости от времени. И исследуем ее на максимум — минимум.
Спасибо большое!