Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно.  Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

 

 

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам  получаем  другую функцию:

{ f} prime(x)=g(x)

В этом равенстве f(x) - функция, от которой мы берем производную,

g(x) - функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение  производной, существует таблица производных  элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

{(C)}prime=0

2. Производная степенной функции:

{(x^n)}prime=nx^{n-1}

Заметим, что n может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1. {(x^5)}prime=5x^4

2. {(1/{x^4})}prime={(x^{-4})}prime=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}

3. {(1/{root{3}{x}})}prime={(x^{-1/3})}prime={-1/3}x^{{-1/3}-1}=-{x^{-4/3}}/3

3. Производная показательной функции:

{(a^x)}prime={a^x}ln{a}

Пример.

{(3^x)}prime={3^x}ln{3}

Частный случай этой формулы:

{(e^x)}prime={e^x}

4. Производная логарифма:

{(log_{a}x)}prime=1/{xlna}

Частный случай этой формулы:

{(ln{x})}prime=1/x

5. Производные тригонометрических функций:

{(sinx)}prime=cosx

{(cosx)}prime=-sinx

{(tgx)}prime=1/{cos^2{x}}

{(ctgx)}prime=-1/{sin^2{x}}

6. Производные обратных тригонометрических функций:

{(arcsinx)}prime=1/{sqrt{1-x^2}}

{(arccosx)}prime=-1/{sqrt{1-x^2}}

{(arctgx)}prime=1/{1+x^2}

{(arcctgx)}prime=-1/{1+x^2}

 

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

{(u+v)}prime={u}prime+{v}prime

2. Производная произведения двух функций:

{(uv)}prime={u}prime{v}+{v}prime{u}

3. Производная дроби:

{(u/v)}prime={{u}prime{v}-{v}prime{u}}/{v^2}

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

{(Cf(x))}prime=C{(f(x))}prime

Чтобы правильно найти производную функции f(x), полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите  в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение f(x), используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции f(x)

4. Вспомните, чему равны производные  этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции f(x) и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

f(x)=log_{2}{x^4},~~x>0

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

log_{2}{x^4}=4log_{2}{delim{|}{x}{|}}

Так как по условию x>0, следовательно, {delim{|}{x}{|}}=x

Таким образом:

{(f(x))}prime={(4log_{2}{x})}prime=4/{xln{2}}

Пример 2. Найти производную функции:

f(x)= 1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{{root{4}{x}}}

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

f(x)= {1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{root{4}{x}}}= 1/{ x^{1/2}}+{x^2}/{ x^{1/3}}+x/{ x^{1/4}} =  x^{-1/2}+ x^{2-{1/3}}+ x^{1-{1/4}}=x^{-1/2}+x^{5/3}+x^{3/4}

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

{(f(x))}prime={(x^{-1/2})}prime+{(x^{5/3})}prime+{(x^{3/4})}prime=-{1/2}x^{-{1/2}-1}+{5/3}x^{{5/3}-1}+{3/4}x^{{3/4}-1}=-{1/2}x^{-{3/2}}+{5/3}x^{2/3}+{3/4}x^{-{1/4}}

Пример 3. Найти производную функции

y=x^2+1/{3x^2}-2/{5x^3}

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени  xи выделим в явном виде числовые коэффициенты:

y=x^2+{1/3}*x^{-2}-{2/5}*x^{-3}

Теперь легко найти производную:

{y}prime={(x^2)}prime+{1/3}*{(x^{-2})}prime-{2/5}*{(x^{-3})}prime=2x+{1/3}*{(-2x^{-3})}-{2/5}*{({-3}x^{-4})}=2x-{2/3}x^{-3}+{6/5}x^{-4}

Пример 4. Найти производную функции:

f(x)={2^x}/{{cos}{x}+1}

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции f(x)  по формуле производной дроби:

(u/v){prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}

В нашем случае:

u=2^x;~~u{prime}=2^x{ln{2}}

v={cos}{x}+1;~~v{prime}=-sin{x}

Отсюда:

{(f(x))}{prime}= {({2^x}/{{cos}{x}+1})}prime={{(2^x)}prime({cos}{x}+1)-{2^x}{({cos}{x}+1)}prime}/{{({cos}{x}+1)}^2}={{(2^x)}ln{2}({cos}{x}+1)-{2^x}({-sin{x}})}/{{({cos}{x}+1)}^2}

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Как найти производную. Таблица производных

Отзывов (657)

  1. диля

    помогите решить уравнение V2-x+Vx+3=3 это V подкорень

  2. диля

    g(x)=x подкореньюх помогите

  3. Диана45

    F(x)=х в корне(3x^5-x) помогитее

  4. Мария

    1 . Ctg^3*x/3,
    2. Sinx^sin2x
    найдите пожалуйста производные

  5. наталья

    помогите пожалуйста решить y= 2cos x -4 * корень x +12x^

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *