Наибольшее и наименьшее значение функции. Задание В15 (2014)


В этой статье я расскажу о том, как применять умение находить производную сложной функции к исследованию функции: к нахождению ее наибольшего или наименьшего значения. А затем мы решим несколько задач из Задания В15 из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике.

Как обычно,  сначала вспомним теорию.


В начале любого исследования функции находим ее область определения.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции y=f(x), нужно исследовать, на каких промежутках функция возрастает, и на каких убывает.

Для этого надо найти производную функции y=f(x) и исследовать ее промежутки знакопостоянства, то есть промежутки, на которых производная сохраняет знак.

Промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная функции отрицательна, являются промежутками убывания функции.

1. Решим задание В15 (№ 245184)

Найдите наибольшее значение функции y=3^{-7-6x-x^2}

Для его решения будем следовать такому алгоритму:

а) Найдем область определения  функции y=3^{-7-6x-x^2}

б) Найдем производную функции y=3^{-7-6x-x^2}.

в) Приравняем ее к нулю.

г) Найдем промежутки знакопостоянства функции.

д) Найдем точку, в которой функция принимает наибольшее значение.

е) Найдем значение функции в этой точке.

Подробное решение этого задания я рассказываю в ВИДЕОУРОКЕ:

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать
Firefox


2. Решим задание В15 (№282862)

Найдите наибольшее значение функции y={(x-2)}^2(x-4)+5 на отрезке [1;3]

а) Найдем область определения функции  y={(x-2)}^2(x-4)+5. Эта функция определена при любом действительном значении    x

б) Найдем производную функции  y={(x-2)}^2(x-4)+5. Для этого удобно  правую часть уравнения функции преобразовать в многочлен. Можно, конечно, использовать формулу для нахождения производной произведения, но в этом случае, мне кажется, что это нецелесообразно.

f(x)={(x-2)}^2(x-4)+5=(x^2-4x+4)(x-4)+5=x^3-4x^2+4x-4x^2+16x-16+5=x^3-8x^2+20x-11

{f}prime(x)={(x^3-8x^2+20x-11)}prime=3x^2-16x+20

в) Приравняем производную к нулю:

3x^2-16x+20=0

x_1=2,  x_2={10}/3

г) Исследуем знаки производной:

Мы исследуем поведение функции на отрезке [1;3]:

Очевидно, что наибольшее значение на отрезке  [1,3] функция принимает в точке максимума, при х=2. Найдем значение функции в этой точке:
y(2)={(2-2)}^2(2-4)+5=5

Ответ: 5

3. Решим задание В15 (№245180):

Найдите наибольшее значение функции y=log_5{(4-2x-x^2)}+3

a) Найдем область определения функции y=log_5{(4-2x-x^2)}+3. Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля: 4-2x-x^2>0″ title=»4-2x-x^2>0″/>. Пока на этом остановимся, решим  неравенство, если  в этом возникнет необходимость в процессе решения.</p>
<p>а) Найдем производную функции <img src=:

В таблице производных найдем производную логарифмической функции:

{(log_{a}x)}prime=1/{xlna}

Для   производной сложной функции эта формула выглядит так:

{(log_{a}{Delta})}prime=1/{{Delta}lna}{Delta}prime

{(log_5{(4-2x-x^2)}+3)}prime=({log_5{(4-2x-x^2)})prime+{(3)}prime={1/{(4-2x-x^2)ln5}}*{(4-2x-x^2)}prime={-2-2x}/{(4-2x-x^2)ln5}}

Выясним  промежутки знакопостоянства выражения {-2-2x}/{(4-2x-x^2)ln5}

Воспользуемся методом интервалов.

1. ln5>0″ title=»ln5>0″/>, <img src= , т.к. 5>1″ title=»5>1″/> <img src=, поэтому это число не влияет на знак неравенства.

2. Т.к по область определения исходной функции 4-2x-x^2>0″ title=»4-2x-x^2>0″/> <img src=, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.

3. Числитель равен нулю при x=-1. Проверим, принадлежит ли  x=-1 ОДЗ функции. Для этого проверим, выполняется ли условие  4-2x-x^2>0″ title=»4-2x-x^2>0″/> <img src= при x=-1.

4-2(-1)-{(-1)}^2>0″ title=»4-2(-1)-{(-1)}^2>0″/>,  <img src=

значит, точка x=-1  принадлежит ОДЗ функции

Исследуем знак производной справа и слева от точки x=-1:

Мы видим, что наибольшее значение функция принимает в точке x=-1. Теперь найдем значение функции при x=-1:

y=log_5{(4-2(-1)-{(-1)}^2)}+3=log_5{5}+3=1+3=4

Ответ: 4

Замечание 1. Заметим, что в этой задаче мы не находили область определения функции: мы только зафиксировали ограничения и проверили, принадлежит ли точка, в которой производная равна нулю области определения  функции. В данной задаче этого оказалось достаточно. Однако, так бывает не всегда. Это зависит от задачи.

Замечание 2. При исследовании поведения сложной функции можно пользоваться таким правилом:

  • если внешняя функция сложной функции возрастающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наибольшее значение. Это следует из определения возрастающей функции: функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
  • если внешняя функция сложной функции убывающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наименьшее значение. Это следует из определения убывающей функции: функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции

 В нашем примере внешняя функция log_5{x} – возрастает на всей области определения.  Под знаком логарифма стоит выражение 4-2x-x^2 – квадратный трехчлен, который при отрицательном старшем коэффициенте принимает наибольшее значение в точке x={-b}/{2a}= 2/{(-2)}=-1. Далее подставляем это значение х в уравнение функции y=log_5{(4-2x-x^2)}+3 и находим ее наибольшее значение.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Другие записи из категории "14 Задание (2015) (B15-2014), ВИДЕОУРОКИ, ПРОИЗВОДНАЯ":

Отзывов (23)

  1. Елена:

    помогите решить, запуталась в решении
    Найдите наибольшее значение функции y=7-lnx+5x-2x(в квадрате)
    на отрезке [1/2; 7/6].

  2. Руслан:

    Здравствуйте. у меня вот такой вопрос я бы хотел встретится с вами как с репетитором у меня 6 задач и надо их мне любуянить как делать. там есть и теория вероятности,интервьл, функций.И во сколько это мне обойдется?

  3. Алефтина:

    Помогите пожалуйста решить найти наибольшее значение у=х в квадрате +9:х

  4. Kira:

    помогите пожалуйста найти наибольшее и наименьшее значение функции D: z=xy+x+y, D:1<=x<=2, 2<=y<=3

    • Инна:

      1 *2 меньше или равно xy меньше или равно 2*3
      1+2 меньше или равно x+y меньше или равно 2+3
      2+3 меньше или равно xy+x+y меньше или равно 6+5

  5. Оксана:

    Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x^3+9x^2-7. На числовом отрезке (-2;1) Помогите решить

  6. Оксана:

    Решить дифференциальное уравнение (4+x^2)dy-2xydx=0 найти его частное решение,удовлетворяющее условиям x=0 y=2 Помогите решить пожалуйсто

  7. Оксана:

    Тело движется прямолинейно по закону S(t) = -1/6 t3 +1/2 t2 +3 Найти максимальную скорость движения тела. Помогите решить

    • Инна:

      Найдите производную функции S, получите функцию зависимости скорости от времени S’(t)=v(t). Найдите максимум функции v(t)

  8. Оксана:

    Найти площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^2-1,y=0 выполнить чертеж. Помогите решить

  9. Михаил:

    Постройте график функции. Найдите наибольшее значение функции у=(1/3)х на промежутке [2:6]

  10. Влад:

    хахахах

  11. Олча:

    Помогите пожалуйста:( Найдите наибольшее и на меньшее значения функции y=-x^+3|x-1|+2 на отрезке [-2;2]

    • Инна:

      Можно построить график функции и найти наибольшее или наименьшее значения по графику:
      http://pastenow.ru/A5KG
      Или раскрыть модуль и рассмотреть функцию на двух промежутках.

  12. помогите пожалуйста! Найдите наименьшее значение функции y=x^2-8x+7

  13. Сергей:

    Помогите, пожалуйста найти наименьшее значение функции y=(х^2)/(x^2+2)

    • Инна:

      1. Находим производную:
      y’=(2x*(x^2+2)-2x*х^2)/(x^2+2)^2
      2. Приравниваем к нулю:
      2x^3+4x-2x^3=0
      x=0
      Производная меняет знак при х=0 с – на + , следоват. это точка минимума и точка, в которой функция принимает наименьшее значение. Теперь нужно найти y(0)

  14. Сергей:

    Помогите, пожалуйста, найти наименьшее значение функции у=(x^2-2)/(x^2+2)

  15. евгения:

    Помогите, пожалуйста, найти наименьшее и наибольшее значение функции у=-x^6+7x^4-6x^2+2 на отрезке[-2;3]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>