Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Решение уравнений с модулем

Решение уравнений с модулем. В этой статье я покажу алгоритм решения уравнений, которые содержат  несколько выражений под знаком модуля, на примере решения уравнения уровня С1, а затем вы посмотрите ВИДЕОУРОК с подробным разбором тригонометрического уравнения с модулем.

Давайте решим уравнение:

2delim{|}{x-6}{|}-delim{|}{x}{|}+delim{|}{x+6}{|}=18

 

Вспомним, что модуль раскрывается по  такому правилу:

delim{|}{f(x)}{|}=delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ f(x), f(x)>=0} {-f(x), f(x)<0} }}{ }

Говоря человеческим языком, модуль выражения равен самому выражению, если оно неотрицательно, и выражению с противоположным знаком, если оно меньше нуля.

Таким образом, перед нами стоит задача раскрыть все модули в соответствии со знаками подмодульных выражений.

Будем следовать такому алгоритму:

1. Определим, в каких точках каждое подмодульное выражение меняет знак. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю:

x-6=0x=6

x=0

x+6=0x=-6

Мы получили три точки.

2. Нанесем их на числовую ось:

Эти три числа разбили числовую ось на четыре промежутка:

x<=-6,   -6<=x<=0,   0<=x<=6,  x>=6

Обратите внимание, что мы включили крайние точки промежутков в оба промежутка. Ничего страшного не случится, если мы эти точки учтем два раза, главное, о них не забыть.

3. Теперь рассмотрим знаки подмодульных выражений на каждом промежутке:

Выражение x-6 меняет знак в точке x=6. Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Выражение x меняет знак в точке x=0. Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Выражение x+6 меняет знак в точке x=-6. Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Мы получили знаки всех подмодульных выражений на каждом промежутке. Теперь раскроем модули на каждом промежутке с учетом этих знаков.

Наше уравнение "распадается" на четыре уравнения по количеству числовых промежутков.

4. Решим уравнение на каждом промежутке:

1. delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ x<=-6}{-2(x-6) +x-(x+6)=18}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ x<=-6}{-2x+12+x-x-6=18}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ x<=-6}{-2x=12}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ x<=-6}{x=-6}}}{ }

Решение уравнения на первом промежутке x=-6

2.Раскроем модули на втором промежутке:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ -6<=x<=0}{-2(x-6)+x+x+6=18}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ -6<=x<=0}{-2x+12x+x+6=18}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ -6<=x<=0}{18=18}}}{ }

Мы получили, что второе уравнение системы является тождеством, то есть   второе равенство верно при любом действительном значении x. Следовательно, решением системы будут те значения неизвестного, которые удовлетворяют первому неравенству:

 -6<=x<=0.

3. Раскроем модули на третьем промежутке:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ 0<=x<=6}{-2(x-6)-x+x+6=18}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ 0<=x<=6}{-2x+12-x+x+6=18}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ 0<=x<=6}{-2x=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ 0<=x<=6}{x=0}}}{ }

Решение уравнения на третьем промежутке: x=0

4. Раскроем модули на четвертом промежутке:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ x>=6}{2(x-6)-x+x+6=18}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ x>=6}{2x-12+6=18}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ x>=6}{x=12}}}{ }

Решение уравнения на четвертом промежутке: x=12

Заметим, что решения нашего уравнения на каждом промежутке принадлежали этому промежутку, то есть удовлетворяли неравенству каждой системы. Однако, так бывает не всегда, и если корень уравнения не удовлетворяет неравенству, значит, соответствующая система не имеет решений.

5. Теперь объединим полученные решения, и запишем ответ:

Ответ: -6≤х≤0, х=12

А сейчас я предлагаю вам посмотреть ВИДЕУРОК с подробным решением уравнения уровня С3:

sqrt{{(sin3x-2)}^2}-sqrt{9{sin}^2{3x}-24sin3x+16}=-4

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Решение уравнений с модулем

Отзывов (22)

  1. Анна

    Можно нанести все решения на одну координатную прямую и найти промежутки где есть хоть одно решение. Наносим ответы на каждом промежутке, а не сами промежутки. Поясните, пожалуйста эти две фразы.

    • Инна

      Например, на промежутке (-5;2) решение (-2;1) — это решение наносим на числовую ось. И так на каждом промежутке. Потом смотрим на то, что у нас получилось и в ответе записываем все получившиеся решения.

  2. Людмила

    Большое спасибо за ваши уроки!Пытаюсь помогать внуку — учащемуся 9-го класса, и очень рада, что имею возможность воспользоваться Вашей помощью. Школу сама закончила 50 лет назад. Несмотря на золотую медаль, кое-что забылось, к сожалению. Не помню, решали ли мы вообще такие уравнения в школе! В политехническом на высшей математике -точно не решали.

  3. Андрей

    В седьмом классе объяснили так
    Имеем |x-5|=9
    Значение справа от модуля приравниваем к нулю и получаем выражение типа
    решаем х-5 = 0

    Нигде не смог найти такого объяснения
    ПОмогите разобраться что это а жесть 🙁

  4. Ирина

    Как объяснить дочери : Найдите два корня уравнения: |-0.56|:|x|=|0.8|

    • Инна

      |-0.56|=0,56
      |0.8|=0,8
      Получаем 0.56:|x|=0.8
      Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: |x|=0,56:0,8=0,7
      Получили |x|=0,7
      Отсюда х=0,7 или х=-0,7

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *