Решение уравнений с модулем. В этой статье я покажу алгоритм решения уравнений, которые содержат несколько выражений под знаком модуля, на примере решения уравнения уровня С1, а затем вы посмотрите ВИДЕОУРОК с подробным разбором тригонометрического уравнения с модулем.
Давайте решим уравнение:
Вспомним, что модуль раскрывается по такому правилу:
Говоря человеческим языком, модуль выражения равен самому выражению, если оно неотрицательно, и выражению с противоположным знаком, если оно меньше нуля.
Таким образом, перед нами стоит задача раскрыть все модули в соответствии со знаками подмодульных выражений.
Будем следовать такому алгоритму:
1. Определим, в каких точках каждое подмодульное выражение меняет знак. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю:
,
,
Мы получили три точки.
2. Нанесем их на числовую ось:
Эти три числа разбили числовую ось на четыре промежутка:
, , ,
Обратите внимание, что мы включили крайние точки промежутков в оба промежутка. Ничего страшного не случится, если мы эти точки учтем два раза, главное, о них не забыть.
3. Теперь рассмотрим знаки подмодульных выражений на каждом промежутке:
Выражение меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:
Выражение меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:
Выражение меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:
Мы получили знаки всех подмодульных выражений на каждом промежутке. Теперь раскроем модули на каждом промежутке с учетом этих знаков.
Наше уравнение "распадается" на четыре уравнения по количеству числовых промежутков.
4. Решим уравнение на каждом промежутке:
1.
Решение уравнения на первом промежутке
2.Раскроем модули на втором промежутке:
Мы получили, что второе уравнение системы является тождеством, то есть второе равенство верно при любом действительном значении . Следовательно, решением системы будут те значения неизвестного, которые удовлетворяют первому неравенству:
.
3. Раскроем модули на третьем промежутке:
Решение уравнения на третьем промежутке:
4. Раскроем модули на четвертом промежутке:
Решение уравнения на четвертом промежутке:
Заметим, что решения нашего уравнения на каждом промежутке принадлежали этому промежутку, то есть удовлетворяли неравенству каждой системы. Однако, так бывает не всегда, и если корень уравнения не удовлетворяет неравенству, значит, соответствующая система не имеет решений.
5. Теперь объединим полученные решения, и запишем ответ:
Ответ: -6≤х≤0, х=12
А сейчас я предлагаю вам посмотреть ВИДЕУРОК с подробным решением уравнения уровня С3:
Можно нанести все решения на одну координатную прямую и найти промежутки где есть хоть одно решение. Наносим ответы на каждом промежутке, а не сами промежутки. Поясните, пожалуйста эти две фразы.
Например, на промежутке (-5;2) решение (-2;1) — это решение наносим на числовую ось. И так на каждом промежутке. Потом смотрим на то, что у нас получилось и в ответе записываем все получившиеся решения.
Большое спасибо за ваши уроки!Пытаюсь помогать внуку — учащемуся 9-го класса, и очень рада, что имею возможность воспользоваться Вашей помощью. Школу сама закончила 50 лет назад. Несмотря на золотую медаль, кое-что забылось, к сожалению. Не помню, решали ли мы вообще такие уравнения в школе! В политехническом на высшей математике -точно не решали.
В седьмом классе объяснили так
Имеем |x-5|=9
Значение справа от модуля приравниваем к нулю и получаем выражение типа
решаем х-5 = 0
Нигде не смог найти такого объяснения
ПОмогите разобраться что это а жесть 🙁
Как объяснить дочери : Найдите два корня уравнения: |-0.56|:|x|=|0.8|
|-0.56|=0,56
|0.8|=0,8
Получаем 0.56:|x|=0.8
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: |x|=0,56:0,8=0,7
Получили |x|=0,7
Отсюда х=0,7 или х=-0,7