Для решения задач на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника нужно вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник:
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Противолежащий катет - это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.
Например, для треугольника, который изображен на рисунке, ,
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Прилежащий катет - это тот катет, который является одной из сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.
Например, для треугольника, который изображен на рисунке, ,
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Например, для треугольника, который изображен на рисунке, ,
Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:
1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.
2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.
3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,
Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
1. Задание В7 (№ 27217) В треугольнике угол равен , . Найдите
рис.1
Решим эту задачу двумя способами.
а. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.
б.
Введем единичный отрезок , тогда ,
По теореме Пифагора .
Тогда
Ответ:
2. Задание В7 (№27220)
В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите
Смотрим на рис.1:
Значит,
Ответ:
3. Задание В7 (№27221)
В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите
Введем единичный отрезок , тогда ,
По теореме Пифагора
Ответ:
4. Задание В7 (№27221)
В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AC.
Введем единичный отрезок , тогда ,
По теореме Пифагора
Найдем : - по условию.
Значит, . Отсюда
Ответ:
5. Задание В7 (№27259)
В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AH.
Найдем из треугольника
- прилежвщий к углу катет, поэтому он связан с через
Найдем с помощью основного тригонометрического тождества:
, отсюда
Теперь рассмотрим треугольник , в котором - гипотенуза, а - катет, связанные между собой через :
, отсюда
Ответ: AH=15.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс "ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В"
Здравствуйте,Инна.Благодаря Вашему сайту,я белый свет увидела.А то все выходные сижу,выбираю из всех пособий ЕГЭ задачи,естественно решаю их.Учителя математики,работающие в 11 классе, очень хорошо меня понимают.Огромное Вам ,Инна,спасибо,очень хороший подбор геометрических задач.
Учась в школе, больше любил геометрию, чем алгебру. Вот и сейчас очень часто приходится «решать» прямоугольные треугольники: то угол нужно вычислить, то длину катета…
У меня вопрос, а почему в задаче номер пять, где вы находите косинус через основное тригонометрическое тождество, равняется корень из пяти деленного на три? А то у меня получилось, что квадрат сокращается остается 1-2/3, и, получается равно 1/3, не как у вас. Обьясните пожалуйста, как вы решили
все я понял)))
Добавте плииз задачу где есть гипотенуза и там надо найти меньший из отрезков на которые делит гипотенуза биссектриса прямого угла
А можно условие задачи, или хотя бы номер в банке заданий
Ребята ну что это такое? Это же школьная программа 8 класса, если хотите что то интересное зайдите в квант) все ведь в школе учились?