Решение иррациональных уравнений

Решение  иррациональных уравнений.

В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.

Иррациональным  уравнением  называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.

Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений, которые очень похожи на первый взгляд, но по сути  сильно друг от друга отличаются.

 (1)

и

  (2)

В первом уравнении   мы видим, что  неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения.  Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень  мы можем не опасаться  получить посторонние корни.

Пример 1. Решим уравнение 

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

,   ,    

Ответ: {0;1;2}

Посмотрим внимательно на второе  уравнение: . В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только  неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:

- это условие существования корней.

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:

 (3)

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо учесть ОДЗ уравнения:

 (4)

Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение  равносильно системе:

Пример 2. Решим уравнение:

.

Перейдем к равносильной системе:

Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.

,   

Неравеству  удовлетворяет только корень 

Ответ: x=1

Внимание! Если мы в процессе решения  возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.

Пример 3. Решим уравнение:

Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.

Воозведем обе части уравнения в квадрат:

Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

По тереме Виета:

,   

Сделаем проверку. Для этого подставим найденные  корни в исходное уравнение. Очевидно, что при   правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.

При  получаем верное равенство.

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.