В этой статье я расскажу о том, как решать довольно сложные иррациональные уравнения с помощью замены переменной.
Я не устаю повторять, что замена переменной и разложение на множители - два универсальных приема, которые надо всегда держать в голове. Однако, не всегда замена переменной очевидна, и о некоторых видах замены догадаться сложно, их нужно знать.
В этой статье я хочу поделиться с вами несколькими красивыми способами решения иррациональных уравнений.
1. Решим уравнение:
Мы видим, что в уравнении присутствует корень третьей степени и квадратный корень. Чтобы избавиться от иррациональности, нам пришлось бы, в конечном итоге, возводить уравнение в шестую степень. Можете при желании попробовать самостоятельно этот способ, но мы пойдем другим путем.
Давайте введем замену:
пусть и ,
Выразим подкоренные выражения:
, ,
Теперь перед нами стоит задачи найти линейную комбинацию покоренных выражений, в результате которой получилось бы просто число. В данном случае все просто: если мы сложим подкоренные выражения, то получим число 1:
Тогда вместо нашего уравнения мы получим систему:
Выразим в первом уравнении через , так как возводить выражение в квадрат проще, чем в третью степень:
Подставим во второе уравнение:
Отсюда:
, ,
Найдем соответствующие значения :
, , . Условию удовлетворяют все значения.
Теперь самое время вернуться к исходной переменной. Вспомним, что,
Отсюда , , ,
, ,
Ответ: {2; 10; 1}
2. Теперь я предлагаю вам рассмотреть решение более сложного иррационального уравнения, уровня С3.
Решим уравнение:
Введем замену
Получим уравнение:
Перенесем все слагаемые влево:
Теперь мы видим, что имеем дело с однородным уравнением, и, так как не является корнем уравнения (при этом значении х переменная t обращается в ноль), разделим обе части уравнения на
Получим:
Решим квадратное уравнение относительно
Получим: или
Вернемся к исходной переменной.
Теперь нам надо решить два уравнения:
(1)
(2)
Решим уравнение (1):
Вспомним, как решаются простейшие иррациональные уравнения и перейдем к равносильной системе:
Решим первое уравнение системы. Получим:
,
Условию удовлетворяет только корень
Решим уравнение (2):
Возведем обе части уравнения в квадрат и перейдем к равносильной системе:
Решим первое уравнение системы. Получим:
,
Условию удовлетворяет только корень
Ответ: ,
3. И, наконец, я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с подробным решением уравнения уровня С3:
в видео уроке:2 переносим влево,корень из х-2 выносим за скобки,затем корень х+6 +КОРЕНЬ х-2 выносим за скобки.Это больше 0.корень х-2 =1 .