Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Расстояние от точки до плоскости. Задание С2

В этой статье я хочу познакомить вас  с тремя способами нахождения расстояния от точки до плоскости. Какой из них выбирать при решении задачи, зависит от ее условия.

О четвертом, координатном методе нахождения расстояния от точки до плоскости я расскажу в следующей статье.

Решим задачу: В единичном кубе  A....D_1   найдите расстояние от точки A до плоскости CB_1D_1:

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Чтобы провести перпендикуляр из точки A к плоскости CB_1D_1, проведем через точку A плоскость, перпендикулярную плоскости CB_1D_1:

Докажем, что плоскость  AA_1C_1C перпендикулярна плоскости CB_1D_1:

1. D_1B_1 {ortho}A_1C_1   (как диагонали квадрата)

2.  D_1B_1 {ortho}CC_1   (так как CC_1   перпендикулярна плоскости A_1B_1C_1D_1 и, значит, любой прямой, лежащей в этой плоскости)

3. Таким образом, прямая D_1B_1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости AA_1C_1C   (A_1C_1   и CC_1  ), и, следовательно, перпендикулярна плоскости CB_1D_1. Значит, любая плоскость, проходящая через прямую D_1B_1 будет перпендикулярна плоскости AA_1C_1C, в том числе и плоскость CB_1D_1.

PC   - линия пересечения плоскости CB_1D_1 и плоскости AA_1C_1C.

Рассмотрим треугольник APC и в плоскости этого треугольника проведем высоту   A M к стороне PC  :

Начертим треугольник APC отдельно:

Найдем   PC   как гипотенузу прямоугольного треугольника CC_1P  :

  {PC}^2=1^2+{sqrt{2}/2}^2= 3/2  

  PC ={sqrt{3/2}}  

AC=sqrt{2}

PK=1

Чтобы найти высоту   AM, выразим два раза площадь треугольника:

S={AC*PK}/2={PC*AM}/2

sqrt{2}={sqrt{3/2}}AM 

AM={2sqrt{3}}/3  

Ответ: {2sqrt{3}}/3

2 способ.

Рассмотрим правильную пирамиду D_1B_1CA   с основанием D_1B_1C и вершиной A  :

Расстояние от точки A до плоскости CB_1D_1 равно высоте пирамиды.

В основании пирамиды лежит правильный треугольник D_1B_1C   стороны которого равны sqrt{2}. Боковые ребра пирамиды также равны между собой и равны sqrt{2}.

Если боковые ребра пирамиды равны между собой, то вершина проецируется в центр описанной около основания окружности  - в нашем случае ( в случае правильного треугольника) - это точка пересечения медиан.

Точка M - точка пересечения медиан правильного треугольника делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

MC={2/3}PC={2/3}{sqrt{3/2}}={sqrt{2/3}}

AM   найдем по теореме Пифагора из треугольника AMC:

AM=sqrt{({sqrt{2})}^2-({sqrt{2/3}})^2}=sqrt{4/3}={2sqrt{3}}/3

Ответ: {2sqrt{3}}/3

Примечание. Если вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности, то высоту пирамиды можно найти по формуле:

h=sqrt{a^2-R^2}, где h - высота пирамиды, a   - длина бокового ребра, R - радиус окружности, описанной около основания.

Радиус описанной окружности удобно находить по теореме синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

a/{sin{alpha}}=b/{sin{beta}}=c/{sin{gamma}}=2R

3. И еще один способ нахождение расстояния от точки до плоскости через объем. Рассмотрим тетраэдр D_1B_1CA. Он получается, если от куба ABCDA_1B_1C_1D_1   "отрезать"  4 одинаковые пирамиды, объем каждой из которых равен 1/6 объема куба. То есть мы "отрезаем"  2/3 объема куба и остается 1/3.

Площадь основания тетраэдра D_1B_1CA равна площади треугольника D_1B_1C и равна {(sqrt{2})^2sqrt{3}}/4={2sqrt{3}}/4

Получаем: V_{D_1B_1CA}={1/3}*{AM}* {2sqrt{3}}/4=1/3

Отсюда AM=4/{2sqrt{3}}={2sqrt{3}}/3  

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Расстояние от точки до плоскости. Задание С2

Отзывов (6)

  1. Евгения

    и почему не было такого сайта, когда я в школе училась)

  2. Natabul

    Когда-то такие задачки решались на ура! Спасибо, будем тренировать мозги.

  3. Лялялял

    в последнем ответе ошибка. 2sqrt(3)/3 должно быть

    • Инна

      Спасибо, исправила.

    • Гений

      вообще-то там и есть два корня из трёх, делённое на три)

  4. Руслан(вк:rxsun)

    Небольшая описка в 1ом способе, пункте 3. B1D1 будет ⟂ AA1C1C, а не CB1D1.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *