В этой статье я хочу познакомить вас с тремя способами нахождения расстояния от точки до плоскости. Какой из них выбирать при решении задачи, зависит от ее условия.
О четвертом, координатном методе нахождения расстояния от точки до плоскости я расскажу в следующей статье.
Решим задачу: В единичном кубе найдите расстояние от точки до плоскости :
Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Чтобы провести перпендикуляр из точки к плоскости , проведем через точку плоскость, перпендикулярную плоскости :
Докажем, что плоскость перпендикулярна плоскости :
1. (как диагонали квадрата)
2. (так как перпендикулярна плоскости и, значит, любой прямой, лежащей в этой плоскости)
3. Таким образом, прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ( и ), и, следовательно, перпендикулярна плоскости . Значит, любая плоскость, проходящая через прямую будет перпендикулярна плоскости , в том числе и плоскость .
- линия пересечения плоскости и плоскости .
Рассмотрим треугольник и в плоскости этого треугольника проведем высоту к стороне :
Начертим треугольник отдельно:
Найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника :
Чтобы найти высоту , выразим два раза площадь треугольника:
Ответ:
2 способ.
Рассмотрим правильную пирамиду с основанием и вершиной :
Расстояние от точки до плоскости равно высоте пирамиды.
В основании пирамиды лежит правильный треугольник стороны которого равны . Боковые ребра пирамиды также равны между собой и равны .
Если боковые ребра пирамиды равны между собой, то вершина проецируется в центр описанной около основания окружности - в нашем случае ( в случае правильного треугольника) - это точка пересечения медиан.
Точка M - точка пересечения медиан правильного треугольника делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины.
найдем по теореме Пифагора из треугольника :
Ответ:
Примечание. Если вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности, то высоту пирамиды можно найти по формуле:
, где - высота пирамиды, - длина бокового ребра, - радиус окружности, описанной около основания.
Радиус описанной окружности удобно находить по теореме синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
3. И еще один способ нахождение расстояния от точки до плоскости через объем. Рассмотрим тетраэдр . Он получается, если от куба "отрезать" 4 одинаковые пирамиды, объем каждой из которых равен 1/6 объема куба. То есть мы "отрезаем" 2/3 объема куба и остается 1/3.
Площадь основания тетраэдра равна площади треугольника и равна
Получаем:
Отсюда
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
и почему не было такого сайта, когда я в школе училась)
Когда-то такие задачки решались на ура! Спасибо, будем тренировать мозги.
в последнем ответе ошибка. 2sqrt(3)/3 должно быть
Спасибо, исправила.
вообще-то там и есть два корня из трёх, делённое на три)
Небольшая описка в 1ом способе, пункте 3. B1D1 будет ⟂ AA1C1C, а не CB1D1.