Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание С2


В этой статье мы поговорим о том, как найти расстояние от точки до плоскости с помощью метода координат. О том как находить расстояние от точки до плоскости геометрическим способом, вы можете прочитать здесь.

Решим задачу: в единичном кубе A....D_1 найдите расстояние от точки A до плоскости CB_1D_1.


На этот раз давайте решим ее с помощью метода координат.

Сначала немного теории.

Рассстояние rho от точки M_0(x_0,y_0,z_0) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется по такой формуле:

{rho}=delim{|}{ax_0+by_0+cz_0+d}{|}/{sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Чтобы воспользоваться этой формулой, поместим наш куб в систему координат:

В нашей задаче роль точки M_0(x_0,y_0,z_0) играет точка A(0,1,0). То есть x_0=0,  y_0=1,  z_0=0

Теперь наша задача найти коэффициенты a,   b,  c и d в уравнении ax+by+cz+d=0 плоскости D_1B_1C.

Плоскость  D_1B_1C определяется тремя точками  D_1 (0,0,1),   B_1(1,1,1)  и C (1,0,0). Если мы координаты точек подставим в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0, то получим верное равенство.

Коэффициент d в уравнении плоскости мы можем принять равным 1.

Чтобы найти коэффициенты  a,   b и  c, подставим координаты точек  D_1 (0,0,1),   B_1(1,1,1)  и C (1,0,0) в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0. Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0*a+0*b+1*c+1=0} {1*a+1*b+1*c+1=0} {1*a+0*b+0*c+1=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{c+1=0} {a+b+c+1=0} {a+1=0}}}{ }

Отсюда: a=-1,  b=1,  c=-1

Подставим координаты точки A(0,1,0) и значения коэффициентов в формулу для расстояния:

{rho}=delim{|}{(-1)*0+1*1+(-1)0+1}{|}/{sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2}} =2/{sqrt{3}}={2sqrt{3}}/3

Ответ: {2sqrt{3}}/3

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Другие записи из категории "16 Задание (2015) (C2-2014)":

Отзывов (21)

  1. Полли:

    Отличный сайт) Очень помогает!))
    У меня правда всегда возникают сложности с подсчетом нормали к плоскости. Допустим, если выходит вдруг , что D=0 для меня это тупик! Подскажите пожалуйста как их считать? Через что можно выражать? Вроде не только через D?

    • Инна:

      Если плоскость проходит через начало координат, то D=0 – это как если прямая y=kx+b проходит через начало координат, то b=0. Во всех остальных случаях можно принимать D=1

  2. Lekter:

    А что делать, если после решения системы, один коэффициент выражен через другой? Например, a=0, b=-c. Как тогда дальше решать?

  3. Павел Власкин:

    Отличный сайт. Удачи Вам и успехов!

  4. Настя:

    У меня в ходе решения аналогичной задачи в системе получилось a+b=0;a+c=0. Как с этим быть?

  5. А если мы находим методом координат расстояние от точки до прямой в 6 сти угольной призме.мы достраиваем премую до любой плоскости или как?)
    Допустим от Точкиb до прямой c1d1????

  6. Как координатным способом найти расстояние в 6 угольной призме от точки в до прямойC1D1???до какой плоскости нужно достроить прямую????

  7. Геннадий:

    Все коэффициенты получаются по нулям.
    Что делать?

    • Инна:

      Проверьте еще раз. Если количество уравнений больше, чем количество неизвестных, то нужно два коэффициента выразить через третий, подставить в уравнение и потом разделить на этот коэффициент.

  8. Сергей:

    Почему d=1 ???

  9. Сергей:

    всё, разобрался почему))

  10. Сергей:

    Может ли точка, от которой мы ищем расстояние до плоскости,в нашем случае А, иметь координаты (0,0,0)?

  11. Назар:

    А как найти коэффициент d?

  12. Nik:

    А разве x не заведует перемещением вперед и назад?у вас на картинке он заведует перемещением точки вправо и влево.

    • Инна:

      Вы правы, все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Чаще используют правые координатные системы (о которой говорите вы). С точки зрения решения задач это не принципиально.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>