Расстояние между двумя прямыми. Задание С2


В этой статье мы будем учиться находить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Мы рассмотрим два геометрических способа. Аналитический способ нахождения расстояния между прямыми ( с помощью метода координат) мы рассмотрим в другой статье.

Как обычно,  сначала немного теории.


Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

То есть, для того, чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, нужно

1. Через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой.

2. Из любой точки  первой прямой опустить перпендикуляр на плоскость и найти его длину. То есть задача сводится к нахождению расстояния от точки до плоскости. Это можно сделать геометрическим методом  или с помощью метода координат. 

Рассмотрим решение задачи.

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и CB_1:

Решение.

1 способ.

Прямая A_1B_1 параллельна прямой AB. Проведем через прямые  A_1B_1 и B_1C плоскость A_1B_1C, параллельную прямой AB:

Возьмем точку М, являющуюся серединой отрезка  AB. Проведем через эту точку плоскость MCC_1.

Докажем, что плоскость MCC_1 перпендикулярна прямой  AB, и, следовательно,  плоскости A_1B_1C:

Отрезок CM является медианой, и, следовательно, высотой равностороннего треугольника ABC. Прямая KM параллельна прямой CC_1 и, следовательно, перпендикулярна AB. То есть прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости  MCC_1, и, следовательно перпендикулярна плоскости.

Теперь рассмотрим в плоскости MCC_1 прямоугольный треугольник M KC и проведем в нем высоту MP:

Длина высоты MP  треугольника и есть расстояние между прямыми AB и CB_1, которой нам нужно найти.

Чтобы найти высоту MP, выразим два раза площадь треугольника M KC.

MC=sqrt{3}/2

KM=1

KC=sqrt{{KM^2}+{MC^2}}=sqrt{1+{3/4}}=sqrt{7}/2

S={{KM}*{MC}}/2={{KC}*h}/2

{{1}*{sqrt{3}/2}}={{sqrt{7}/2 }*h}

h=sqrt{21}/7

Ответ: sqrt{21}/7

2 способ.

Рассмотрим  пирамиду A_1B_1CM внутри призмы ABCA_1B_1C_1MP – высота этой пирамиды. Ее длина – расстояние между прямыми AB и CB_1.

Выразим объем  пирамиды A_1B_1CM через объем  призмыABCA_1B_1C_1.

Чтобы найти объем пирамиды A_1B_1CM, нужно из объема призмы ABCA_1B_1C_1 вычесть объемы пирамиды AMCA_1,  MCBB_1 и A_1B_1C_1C.

Пусть S –  площадь основания призмы ABCA_1B_1C_1, и  h – ее высота. Тогда:

V_{AMCA_1}={1/3}{1/2}Sh={1/6}V_{ABCA_1B_1C_1}

V_{MCBB_1}={1/3}{1/2}Sh={1/6}V_{ABCA_1B_1C_1} 

V_{A_1B_1C_1C}={1/3}Sh={1/3}V_{ABCA_1B_1C_1} 

Следовательно, объем пирамиды A_1B_1CM равен:

V_{ABCA_1B_1C_1}-{1/6}V_{ABCA_1B_1C_1} -{1/6}V_{ABCA_1B_1C_1} -{1/3}V_{ABCA_1B_1C_1} ={1/3}V_{ABCA_1B_1C_1}= 

S=S_{ABC}=sqrt{3}/4

h=1

V_{ABCA_1B_1C_1}={1/3}*sqrt{3}/4=sqrt{3}/{12} 

Объем пирамиды A_1B_1CM={1/3}S_{A_1B_1C}*MP

S_{A1B_1C}={KC*A_1B_1}/2 ={{sqrt{7}/2}*A_1B_1}/2=sqrt{7}/4 

Отсюда:

V_{A_1B_1CM}={1/3}{sqrt{7}/4}*MP ={sqrt{7}/{12}}*MP =sqrt{3}/{12} 

MP=sqrt{21}/7

Ответ: sqrt{21}/7

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

Другие записи из категории "16 Задание (2015) (C2-2014)":

Отзывов (6)

  1. Войкова:

    Уважаемая Инна Владимировна! Впервые забрела на Ваш сайт. Буду рекомендовать его коллегам и выпускникам. Во втором способе можно рассмотреть объём призмы как сумму объёмов пирамид А1АВС, СА1В1С1 и ВА1В1С. Тогда искомое расстояние – высота ВА1В1С. Это позволит упростить чертёж и рассуждения. т.к. V(А1АВС)=V(СА1В1С1)=1/3*V(АВСА1В1С1).
    С наилучшими пожеланиями, учитель-неудачник, Войкова Т.Ю.

  2. Александр:

    Скажите пожалуйста, достаточно ли, в качестве пояснения на ЕГЭ этих рассуждений? Чтоб не придрались вдруг потом, решил спросить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>