Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Расстояние между двумя прямыми. Метод координат. Задание 14

Расстояние между двумя прямыми. Метод координат. Задание 14

В этой статье я хочу показать решение  задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми, которую мы уже решали геометрическим способом, но теперь с помощью метода координат. Я специально показываю решение одной задачи разными способами, чтобы у вас была возможность выбрать наиболее удобный для вас.

Итак,  аналитический  способ решения задачи:

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и CB_1:

Как мы помним из геометрического метода решения этой задачи, расстояние между прямыми  и CB_1 есть расстояние от точки  M , которая является серединой отрезка AB до плоскости A_1B_1C:

Рассстояние rho от точки M_0(x_0,y_0,z_0) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется по такой формуле:

rho=delim{|}{ax_0+by_0+cz_0+d}{|}/{sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Поместим нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер. В случае  призмы это не столь очевидно.

Нам надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки M   и точек A_1,  B_1 и C, задающих плоскость A_1B_1C вычислялись наиболее простым способом и содержали как можно больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом:

 

Запишем координаты нужных нам точек:

A_1(0;-{1/2};1)

B_1(0;{1/2};1)

C({sqrt{3}}/2;0;0)

M(0;0;0)

Чтобы найти коэффициенты  a,   b,  c и d в уравнении ax+by+cz+d=0 плоскости A_1B_1C, примем коэффициент d=1, и подставим координаты точек A_1,  B_1 и C в уравнение плоскости. (Мы приняли коэффициентd=1, так как наша плоскость не проходит через начало координат.)

Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0*a-{1/2}b+c+1=0} {0*a+{1/2}b+c+1=0} {{sqrt{3}}/2{a}+0*b+0*c+1=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{-{1/2}b+c+1=0} {{1/2}b+c+1=0} {{sqrt{3}}/2{a}+1=0}}}{ }

Отсюда:

a=-2/{sqrt{3}},

b=0,

c=-1

Подставим значения коэффициентов и координаты точки M(0;0;0) в формулу для расстояния. Получим:

rho=delim{|}{{-2/{sqrt{3}}}*0+0*0+{-1}*0+1}{|}/{sqrt{{-2/{sqrt{3}}^2+0^2+{-1}^2}}=1/{{4/3}+1}=sqrt{3/7}=sqrt{21}/7

Ответ: sqrt{21}/7 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Расстояние между двумя прямыми. Метод координат. Задание 14

Отзывов (15)

  1. ирина

    Спасибо. Очень познавательно.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *