При решении задач на нахождение радиуса вписанной или описанной окружности нужно вспомнить такие факты:
1. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы. Соответственно, радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.
2. Центр окружности, описанной около прямоугольника или квадрата, лежит в точке пересечения диагоналей.
3. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата.
4. Центр окружности, вписанной в равносторонний треугольник, а также центр окружности, описанной около равностороннего треугольника лежит в точке пересечения медиан ( высот и биссектрис).
И, так как точка пересечения медиан любого треугольника делит их в отношении 2:1, считая от вершины,
- радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен
медианы (высоты, биссектрисы) равностороннего треугольника, и - радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника равен
медианы (высоты, биссектрисы) равностороннего треугольника
медианы (высоты, биссектрисы) равностороннего треугольника, и
медианы (высоты, биссектрисы) равностороннего треугольника5. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удобно находить, дважды выразив площадь прямоугольного треугольника:
, где 
и 
- катеты прямоугольного треугольника, 
- полупериметр прямоугольного треугольника, 
- радиус вписанной окружности.
Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
1. Задание B7 (№ 27947)
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.
Центр окружности, описанной около прямоугольника лежит в точке пересечения диагоналей:
Очевидно, что точка О делит отрезок BD пополам (диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам). Длина отрезка BD равна 5( считаем клетки), следовательно, радиус описанной окружности равен 2,5.
Ответ: 2,5.
2. Задание B7 (№ 27948)
Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными
.
ОК- радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD:
ОК - диагональ квадрата со стороной 
, следовательно,
Ответ: 2
3. Задание B7 (№ 27949)
Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите 
.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:
Найдем длину отрезка СО, равного радиусу описанной окружности, из треугольника СОК:
В ответе требуется указать 
Ответ: 5
4. Задание B7 (№ 27950)
Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Центр О описанной окружности лежит в точке пересечения медиан (высот и биссектрис) треугольника ABC.
Высота (она же медиана) ВК=3, следовательно, 
Ответ: 2.
5. Задание B7 (№ 27951)
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Считаем клеточки: AC=3, BC=4. По теореме Пифагора 
Ответ: 1.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс "ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В"
Очень обрадовался, когда увидел Ваш сайт приближенный к прикладной тематике — об обучении. К сожалению сейчас эта тема, как и моя, о техническом воспитании, востребована только на специализированных, профильных сайтах, а блоги посвящены заработку, кухне, красоте и т.п. Будем надеяться, что когда-нибудь и наши темы будут востребованы должным образом.