Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
17 Мар 2012
03 Задание (2022)

Правильные многоугольники: радиус вписанной и описанной окружности. Задание В6

Для того, чтобы научиться решать  задачи из задания В6 на нахождение радиуса  окружности, вписанной в правильный многоугольник, или описанной около него, не нужно запоминать большое количество формул.  Нужно только вспомнить, как соотносятся стороны и углы в прямоугольном треугольнике. 

И применить эти знания в немного другой ситуации.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

В правильном многоугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадают.

Посмотрим, как соотносятся между собой радиусы вписанной и описанной окружности и сторона правильного многоугольника. Рассмотрим фрагмент правильного многоугольника:

Здесь

АВ - сторона правильного треугольника

ОК - радиус вписанной окружности

ОВ, ОА - радиусы описанной окружности

Очевидно, что треугольник АОВ - равнобедренный, поэтому ОК является высотой, биссектрисой и медианой.

Рассмотрим треугольник ОКВ. С его помощью мы найдем, как соотносятся между собой сторона правильного многоугольника, радиус вписанной и описанной окружности.

Угол AOB= {360^{circ}}/n, где n- количество сторон многоугольника. Тогда угол  {alpha}={180^{circ}}/n  - то есть его величину мы знаем всегда.

Мы видим, что:

радиус вписанной окружности  r -   является прилежащим катетом прямоугольного треугольника  ОКВ

половина стороны многоугольника а/2 является противолежащим катетом прямоугольного треугольника  ОКВ

радиус описанной окружности R является гипотенузой  прямоугольного треугольника  ОКВ

Тогда:

sin{alpha} = {a/2}/R=a/{2R}

 cos{alpha}=r/R 

tg{alpha}={a/2}/r=a/{2r}

Решим несколько задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

1. Задание B7 (№ 27944)

Около окружности, радиус которой равен sqrt{8}  , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Проведем радиусы вписанной и описанной окружности и рассмотрим наш "волшебный" прямоугольный треугольник:

По условию r=sqrt{8}  , надо найти R

{alpha}={180^{circ}}/4=45^{circ}

Тогда R=r/{cos{45^{circ} }} ={sqrt{8}}/{{sqrt{2}}/2}={2sqrt{2}*2}/{sqrt{2}}=4 

Ответ: 4

2. Задание B7 (№ 27929)

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

В этой задаче мы пойдем немного другим путем, и рассмотрим треугольник АОВ:

Угол АОВ={360^{circ}}/6=60^{circ}

Найдем сторону шестиугольника. Так как все стороны правильного шестиугольника равны, P=6AB=72  . Отсюда AB=12 

Треугольник АОВ равнобедренный с углом 60^{circ} , а, значит, равносторонний. Следовательно, R= AB=12 и  D=2R=24

Ответ: 24.

Запомните: в правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности.

3. Задание B7 (№ 27917)

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной sqrt{3}   .

Рассмотрим треугольник ВОК:

{alpha}={180^{circ}}/6=30^{circ}

KB={1/2}AB={sqrt{3}}/2

{KB}/r=tg{30^{circ}}

r={KB}/{tg{30^{circ}}}={sqrt{3}/2}*{3/{sqrt{3}}} =3/2=1,5

Ответ: 1,5

4. Задание B7 (№ 27909)

Сторона правильного треугольника равна sqrt{3}. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Рассмотрим треугольник ВОК:

{alpha}={180^{circ}}/3=60^{circ}

KB={1/2}AB={sqrt{3}}/2

{KB}/r=tg{60^{circ}}

r={KB}/{tg{60^{circ}}}={sqrt{3}/2}*{{sqrt{3}}} =1/2=0,5

Ответ: 0,5

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В"

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Правильные многоугольники: радиус вписанной и описанной окружности. Задание В6
| Отзывов (6) | Метки:

Отзывов (6)

  1. Дина
    в 17:24

    Добавила ваш сайт в закладки, буду захаживать
    Ответить
  2. Вефа
    в 14:27

    отлично!!
    Ответить
  3. Неизвестная
    в 15:39

    молодец
    Ответить
  4. ирина
    в 15:39

    Перепутаны определения центра вписанной и описанной окружности.
    Ответить
  5. Михаил
    в 10:18

    А можно составить таблицу для разных n-угольников со стороной a,
    в которой выразить R и r через a?
    n | R | r
    Ответить
    • Инна
      в 11:50

      Можно, но разве все упомнишь? Лучше знать принцип.
      Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *