Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Уравнение плоскости по трем точкам

Во многих стереометрических задачах, связанных с нахождением расстояния от точки до плоскости или расстояния между скрещивающимися прямыми, или угла между плоскостями, требуется найти уравнение плоскости. В этой статье я расскажу, как найти уравнение плоскости, если известны координаты трех точек, через которые она проходит.

Уравнение плоскости имеет вид: ax+by+cz+d=0  , где a, b, c и d - числовые коэффициенты.

Пусть  нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точки K(x_1;y_1;z_1), L(x_2;y_2;z_2) и  M(x_3;y_3;z_3)

Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в уравнение плоскости, мы получим верные равенства.

Так как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Примем коэффициент d равным 1. Для этого разделим уравнение плоскости на  d.  Получим:

{a/d}x+{b/d}y+{c/d}z+1=0  

Мы можем переписать  это уравнение в виде: Ax+By+Cz+1=0  

Внимание! Если плоскость проходит через начало координат, то d=0.

Чтобы найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек K(x_1;y_1;z_1), L(x_2;y_2;z_2) и  M(x_3;y_3;z_3) в уравнение плоскости Ax+By+Cz+1=0  .

Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{Ax_1+By_1+Cz_1+1=0} {Ax_2+By_2+Cz_2+1=0} {Ax_3+By_3+Cz_3+1=0}}}{ } 

Решив ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.

Решим задачу.

В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1  со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA_1 взята точка M так, что AM равно 8. на ребре BB_1 взята точка K так, что B_1K равно 8. Написать уравнение плоскости D_1MK:

Поскольку для нахождения уравнения плоскости нам понадобятся координаты точек, я сразу помещаю призму в систему координат:

Запишем координаты точек:

M(0;0;13)

K(12;0;8)

D_1(0;12;0)

Подставим их в систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0*A+0*B+13C+1=0} {12A+0*B+8C+1=0} {0*A+12B+0*C+1=0}}}{ } 

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{13C+1=0} {12A+8C+1=0} {12B+1=0}}}{ } 

Отсюда:

C=-1/{13}

B=-1/{12}

A={-5}/{12*13}

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

{-5}/{12*13}x- 1/{12}y-1/{13}z+1=0

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на -{12*13}. Получим:

5x+13y+12z-156=0

Ответ: уравнение плоскости  D_1MK 5x+13y+12z-156=0

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов (32)

  1. Виктория

    3. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=2:3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD1.
    Пробовала решить задачу вашим методом, получилось, что одно уравнение плоскости 3x-2y-c+2=o, у уравнение плоскости АВС z=0 ( или я что-то не так делала?). В итоге при нахождении угла между плоскостями вышло, что соs=0, а значит угол прямой. Мне кажется, я где-то ошиблась. Если у вас будет время, укажите на ошибку. Заранее спасибо.

    • Инна

      уравнение плоскости АВС z=1

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *