Уравнение плоскости по трем точкам

Уравнение плоскости по трем точкам

Во многих стереометрических задачах, связанных с нахождением расстояния от точки до плоскости или расстояния между скрещивающимися прямыми, или угла между плоскостями, требуется найти уравнение плоскости. В этой статье я расскажу, как найти уравнение плоскости, если известны координаты трех точек, через которые она проходит.


Уравнение плоскости имеет вид: ax+by+cz+d=0  , где a, b, c и d - числовые коэффициенты.

Пусть  нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точки K(x_1;y_1;z_1), L(x_2;y_2;z_2) и  M(x_3;y_3;z_3)

Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в уравнение плоскости, мы получим верные равенства.

Так как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Примем коэффициент d равным 1. Для этого разделим уравнение плоскости на  d.  Получим:

{a/d}x+{b/d}y+{c/d}z+1=0  

Мы можем переписать  это уравнение в виде: Ax+By+Cz+1=0  

Внимание! Если плоскость проходит через начало координат, то d=0.

Чтобы найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек K(x_1;y_1;z_1), L(x_2;y_2;z_2) и  M(x_3;y_3;z_3) в уравнение плоскости Ax+By+Cz+1=0  .

Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{Ax_1+By_1+Cz_1+1=0} {Ax_2+By_2+Cz_2+1=0} {Ax_3+By_3+Cz_3+1=0}}}{ } 

Решив ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.

Решим задачу.

В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1  со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA_1 взята точка M так, что AM равно 8. на ребре BB_1 взята точка K так, что B_1K равно 8. Написать уравнение плоскости D_1MK:

Поскольку для нахождения уравнения плоскости нам понадобятся координаты точек, я сразу помещаю призму в систему координат:

Запишем координаты точек:

M(0;0;13)

K(12;0;8)

D_1(0;12;0)

Подставим их в систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0*A+0*B+13C+1=0} {12A+0*B+8C+1=0} {0*A+12B+0*C+1=0}}}{ } 

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{13C+1=0} {12A+8C+1=0} {12B+1=0}}}{ } 

Отсюда:

C=-1/{13}

B=-1/{12}

A={-5}/{12*13}

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

{-5}/{12*13}x- 1/{12}y-1/{13}z+1=0

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на -{12*13}. Получим:

5x+13y+12z-156=0

Ответ: уравнение плоскости  D_1MK 5x+13y+12z-156=0

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов (24)

  1. Галина пишет:

    ух, до дрожи по коже прочитала статью. Все дело в школьных воспоминаниях.
    Мне нравилась стреометрия в 10-11 классах. Есть что-то волшебное в этом разделе математики)))

    Ответить
  2. Валентина пишет:

    Неужели подобные задачи сейчас входят в школьную программу?

    Ответить
  3. Lekter пишет:

    А что, если после решения системы один коэффициент пропадает? Например, во всех трёх уравнениях системы коэффициент С умножается на 0, получается, что он пропадает. Как тогда его найти?

    Ответить
    • Инна пишет:

      Никак. Если плокость параллельна оси OZ, то с=0

      Ответить
      • Алексей пишет:

        Может перпендикулярна? у меня то же самое. Из системы получилось так , что A B C равны нулю. Значит и косинус получится равный нулю

        Ответить
  4. Kernel32 пишет:

    http://schoolmathematics.ru/zadanie-s2-2
    тут лучше способ

    Ответить
    • Инна пишет:

      Мне мой больше нравится :)

      Ответить
  5. hero пишет:

    Шикарный сайт, шикарное объяснение, как же повезло, что я вас нашел))

    Ответить
  6. salta пишет:

    Спасибо, Инна! Скажите, а как выглядит уравнение плоскости, которая совпадает с плоскостью Оху. Пыталась С2 из егэ 2012г решить вашим способом, уравнение одной плоскости составила, а вот другой АВСД, которая совпадает с Оху не разберусь?!

    Ответить
    • Инна пишет:

      Вектор нормали к плоскости OXY — параллелен OZ, то есть его координаты, например, (0,0,1). d=0, так как плоскость проходит через начало координат. Тогда уравнение плоскости z=0

      Ответить
      • salta пишет:

        Спасибо!!! Вспомнила! В школьной практике нет подобных задач, даже понятие нормали,поэтому спасибо!!!

        Ответить
  7. Никита пишет:

    Здравствуйте. у меня такой вопрос -х-у+z+1=0 координаты вектора нормали будет такой {-1;-1;1} ? или единица d=1 нужна еще? подскажите пожалуйста

    Ответить
    • Инна пишет:

      координаты вектора нормали (-1;-1;1) — значение d появляется, если известна конкретная точка, через которую проходит плоскость.

      Ответить
  8. Вика пишет:

    Здраствуйте, Инна. Очень понравился ваш способ решения задания С2. Спасибо большое! Только у меня возникла проблема. Координаты точек А (0;0;0) D (0;3;0.5) в (3;3;1). когда я подставляю в уравнения системы у меня везде получается ноль. Подскажите пожалуйста, где я ошиблась?

    Ответить
    • Инна пишет:

      Все правильно. Нужно выразить все неизвестные, например, через а, а потом полученное уравнение плоскости разделить на а.

      Ответить
  9. Ксения пишет:

    Здравствуйте.Спасибо большое за информацию!Возник вопрос.Координаты точек (0;0;sqrt3) (1;0;0) и (-1;0;0).Тогда D=0?

    Ответить
    • Инна пишет:

      D=0, если плоскость проходит через начало координат.

      Ответить
  10. Виктор пишет:

    Здравствуйте,Инна Владимировна! Простите меня за то, что отнимаю Ваше время. Я и моя дочь пользуемся только Вашим сайтом, очень сильно помогает, за что огромное спасибо. Подскажите, пожалуйста,что касается этой темы. Не можем разобраться с составлением уравнений плоскостей, проходящих через начало координат. Понятно, что для обоих плоскостей d=0. Но как поступать дальше, как найти коэффициенты? Координаты точек: 1 плоскость: А(0;2;1), В(2;2;3), С (0;0;0), 2 — А(0;2;0), В(0;0;0), С (2;0;0).
    Спасибо Вам огромное.

    Ответить
    • Инна пишет:

      Составляем системы для первой плоскости:
      a*0+b*2+c*1=0
      a*2+b*2+c*3=0
      Из первого уравнения получаем c=-2b
      Подставляем во второе:
      2a+2b+3(-2b)=0 отсюда a=2b
      теперь коэффициенты, выраженные через b подставляем в уравнение плоскости ax+by+cz=0
      2bx+by-2bz=0
      Делим все на b
      Получаем искомое уравнение плоскости:
      2x+y-2z=0
      Фишка в том, что имея два уравнения и три неизвестных, мы не можем найти все неизвестные. Но мы можем два неизв. выразить через третье.

      Ответить
  11. Ирина пишет:

    Способ решения понятен, но как детям обосновывать в решении деление на д=1?

    Ответить
    • Инна пишет:

      Это действие аналогично тому, как мы из любого квадратного уравнения делаем приведенное

      Ответить
  12. Дарья пишет:

    Здравствуйте, Ирина. Я правильно понимаю, что уравнение 5x+13y+12z-156=0 и уравнение (-5/12×13)x-(1/12)y-(1/13)z+1=0 эквивалентны друг другу, и в принципе можно было оставить вариант с дробными коэффициентами?

    Ответить
    • Инна пишет:

      Да, можно. Но как-то некрасиво)

      Ответить
      • Дарья пишет:

        Спасибо за объяснение

        Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.