Во многих стереометрических задачах, связанных с нахождением расстояния от точки до плоскости или расстояния между скрещивающимися прямыми, или угла между плоскостями, требуется найти уравнение плоскости. В этой статье я расскажу, как найти уравнение плоскости, если известны координаты трех точек, через которые она проходит.
Уравнение плоскости имеет вид: , где , , и - числовые коэффициенты.
Пусть нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точки , и
Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в уравнение плоскости, мы получим верные равенства.
Так как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Примем коэффициент равным 1. Для этого разделим уравнение плоскости на . Получим:
Мы можем переписать это уравнение в виде:
Внимание! Если плоскость проходит через начало координат, то принимаем d=0.
Чтобы найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек , и в уравнение плоскости .
Получим систему уравнений:
Решив ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.
Решим задачу.
В правильной четырехугольной призме со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка так, что равно 8. на ребре взята точка так, что равно 8. Написать уравнение плоскости :
Поскольку для нахождения уравнения плоскости нам понадобятся координаты точек, я сразу помещаю призму в систему координат:
Запишем координаты точек:
Подставим их в систему уравнений:
Отсюда:
Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:
Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на . Получим:
Ответ: уравнение плоскости
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
3. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=2:3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD1.
Пробовала решить задачу вашим методом, получилось, что одно уравнение плоскости 3x-2y-c+2=o, у уравнение плоскости АВС z=0 ( или я что-то не так делала?). В итоге при нахождении угла между плоскостями вышло, что соs=0, а значит угол прямой. Мне кажется, я где-то ошиблась. Если у вас будет время, укажите на ошибку. Заранее спасибо.
уравнение плоскости АВС z=1