Во многих стереометрических задачах, связанных с нахождением расстояния от точки до плоскости или расстояния между скрещивающимися прямыми, или угла между плоскостями, требуется найти уравнение плоскости. В этой статье я расскажу, как найти уравнение плоскости, если известны координаты трех точек, через которые она проходит.
Уравнение плоскости имеет вид: 
, где 
, 
, 
и 
- числовые коэффициенты.
Пусть нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точки 
, 
и 
Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в уравнение плоскости, мы получим верные равенства.
Так как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Примем коэффициент равным 1. Для этого разделим уравнение плоскости на . Получим:
Мы можем переписать это уравнение в виде: 
Внимание! Если плоскость проходит через начало координат, то принимаем d=0.
Чтобы найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек , и в уравнение плоскости .
Получим систему уравнений:
Решив ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.
Решим задачу.
В правильной четырехугольной призме 
со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре 
взята точка 
так, что 
равно 8. на ребре 
взята точка 
так, что 
равно 8. Написать уравнение плоскости 
:
Поскольку для нахождения уравнения плоскости нам понадобятся координаты точек, я сразу помещаю призму в систему координат:
Запишем координаты точек:
Подставим их в систему уравнений:
Отсюда:
Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:
Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на 
. Получим:
Ответ: уравнение плоскости
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Здраствуйте, Инна. Очень понравился ваш способ решения задания С2. Спасибо большое! Только у меня возникла проблема. Координаты точек А (0;0;0) D (0;3;0.5) в (3;3;1). когда я подставляю в уравнения системы у меня везде получается ноль. Подскажите пожалуйста, где я ошиблась?
Все правильно. Нужно выразить все неизвестные, например, через а, а потом полученное уравнение плоскости разделить на а.
Здравствуйте.Спасибо большое за информацию!Возник вопрос.Координаты точек (0;0;sqrt3) (1;0;0) и (-1;0;0).Тогда D=0?
D=0, если плоскость проходит через начало координат.
Здравствуйте,Инна Владимировна! Простите меня за то, что отнимаю Ваше время. Я и моя дочь пользуемся только Вашим сайтом, очень сильно помогает, за что огромное спасибо. Подскажите, пожалуйста,что касается этой темы. Не можем разобраться с составлением уравнений плоскостей, проходящих через начало координат. Понятно, что для обоих плоскостей d=0. Но как поступать дальше, как найти коэффициенты? Координаты точек: 1 плоскость: А(0;2;1), В(2;2;3), С (0;0;0), 2 — А(0;2;0), В(0;0;0), С (2;0;0).
Спасибо Вам огромное.
Составляем системы для первой плоскости:
a*0+b*2+c*1=0
a*2+b*2+c*3=0
Из первого уравнения получаем c=-2b
Подставляем во второе:
2a+2b+3(-2b)=0 отсюда a=2b
теперь коэффициенты, выраженные через b подставляем в уравнение плоскости ax+by+cz=0
2bx+by-2bz=0
Делим все на b
Получаем искомое уравнение плоскости:
2x+y-2z=0
Фишка в том, что имея два уравнения и три неизвестных, мы не можем найти все неизвестные. Но мы можем два неизв. выразить через третье.
А что делать со вторым уравнением плоскости?
Там все коэффициенты (у меня похожая ситуация) при решении системы обращаются в ноль, и d=0, т.к. плоскость проходит через начало координат…. Получается, что нет у плоскости уравнения?) Тогда и угол никак не найти!
Спасибо заранее за ответ 🙂
Если у нас система из двух уравнений с тремя неизвестными, то два коэффициента выражаем через третий, потом на него сокращаем.
Здравствуйте! В уравнении, которое я решаю (A(0;0;0), B(2;0;0), C(1;sqrt(3);0), если начертить систему координат в точке А, то при попытке найти уравнение плоскости получается следующее:
0*а + 0*b + 0*c=0;
2*a + 0*b + 0*c=0;
1*a + sqrt(3)*b + 0*c=0;
По сути, здесь мы имеем лишь одно уравнение «a = -sqrt(3)*b;», так как все остальные обращаются в ноль.
Есть ли здесь способ построения уравнения или легче просто основать систему координат в другой точке?
Получается, что с может быть любым числом. Пусть, например,
. Если плоскость проходит через начало координат, то 
.
.
Подставим в уравнение
Получим
Разделим на
Получим
Способ решения понятен, но как детям обосновывать в решении деление на д=1?
Это действие аналогично тому, как мы из любого квадратного уравнения делаем приведенное
Здравствуйте, Ирина. Я правильно понимаю, что уравнение 5x+13y+12z-156=0 и уравнение (-5/12×13)x-(1/12)y-(1/13)z+1=0 эквивалентны друг другу, и в принципе можно было оставить вариант с дробными коэффициентами?
Да, можно. Но как-то некрасиво)
Спасибо за объяснение
Спасибо большое, помогли разобраться в теме! Искал такую информацию и нашёл только у вас.
спасибо решил задачу
ещё одну задачу решил
Я рада)