В этой статье я расскажу как решать задачи, в которых используются теорема о вписанном угле.
Сначала, как обычно, вспомним определения и теоремы, которые нужно знать, чтобы успешно решать задачи на вписанный угол.
1. Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность:
2. Центральный угол - это угол, вершина которого совпадает с центром окружности:
Градусная величина дуги окружности измеряется величиной центрального угла, который на нее опирается.
В данном случае градусная величина дуги АС равна величине угла АОС.
3. Если вписанный и центральный угол опираются на одну дугу, то величина вписанного угла в два раза меньше центрального:
4. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны между собой:
5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°:
Решим несколько задач.
1. Задание B7 (№ 27887)
Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдем величину центрального угла, который опирается на ту же дугу:
Очевидно, что величина угла АОС равна 90°, следовательно, угол АВС равен 45°
Ответ: 45°
2.Задание B7 (№ 27888)
Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдем величину центрального угла, который опирается на ту же дугу. Это центральный угол АОС, обозначенный зеленой дугой:
Очевидно, что угол АОС равен 270°, тогда угол АВС равен 135°.
Ответ: 135°
3. Задание B7 (№ 27890)
Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдем величину центрального угла, который опирается на дугу АС:
Величина угла АОС равна 45°, следовательно, градусная мера дуги АС равна 45°.
Ответ: 45°.
4. Задание B7 (№ 27885)
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Ответ дайте в градусах.
Угол ADB опирается на дугу АВ, следовательно, величина центрального угла АОВ равна 118°, следовательно, угол BDA равен 59°, и смежный ему угол ADC равен 180°-59°=121°
Аналогично, угол DOE равен 38° и соответствующий вписанный угол DAE равен 19°.
Рассмотрим треугольник ADC:
Сумма углов треугольника равна 180°.
Величина угла АСВ равна 180°- ( 121°+19°)=40°
Ответ: 40°
5. Задание B7 (№ 27872)
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , и . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Угол В опирается на дугу АDC, величина которой равна сумме величин дуг AD и CD, то есть 71°+145°=216°
Вписанный угол В равен половине величины дуги ADC, то есть 108°
Ответ: 108°
6. Задание B7 (№ 27873)
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6 . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
(см. чертеж предыдущей задачи)
Так как у нас дано отношение величин дуг, введем единичный элемент х. Тогда величины каждой дуги будут выражаться таким соотношением:
АВ=4х, ВС=2х, СD=3х, AD=6x. Все дуги образуют окружность, то есть их сумма равна 360°.
4х+2х+3х+6х=360°, отсюда х=24°.
Угол А опирается на дуги ВС и CD, которые в сумме имеют величину 5х=120°.
Следовательно, угол А равен 60°
Ответ: 60°
7. Задание B7 (№ 27874)
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен , угол CAD равен . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Угол АВС равен сумме углов ABD и DBC. Угол DBC опирается на ту же дугу, что и угол CAD, поэтому тоже равен 35°. Следовательно, угол ABD равен 105°-35°=70°.
Ответ: 70°.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс "ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В"
Вписаный угол — даже помню урок геометрии, на котором нам рассказывали о нем! Спасибо!
В 4 задании опечатка в вычислениях:
Величина центрального угла АОВ равна 118°, следовательно, угол BDA равен 118:2=59 а не 56°
Отсюда ответ в задаче будет 40°
Большое спасибо, исправила.
Либо у меня уже голова не варил, либо в 4. Задание B6 (№ 27885) полная ахинея! Проверьте.
Голова не варит 🙂
«Очевидно, что угол АОС равен 270°»
Каким это местом это, интересно, очевидно? 🙂
Лично у меня головой: см. предыдущую задачу — в этой из 360 градусов вычитаем 90.
Очевидно, что угол АОС равен 270°, тогда угол АВС равен 135°
Как получилось 135?!
потому что авс это вписанный угол, который равен половине центрального, т.е 270/2=135
Поправьте систему «Проверь себя». 3 раза вводил верный ответ (ниже решение) и все три раза выдавал ответ «Неправильно! Правильный ответ:…»
Система говорит, что ответ неправильный, и пишет тот же ответ.