Угол между прямой и плоскостью. Метод координат. Задание С2


В этой статье я расскажу, как находить угол между прямой и плоскостью c помощью  методом координат.

Для этого нам, как обычно, понадобятся  некоторые теоретические сведения.

1. Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0

2. Важно! В этом уравнении плоскости  коэффициенты a;b;c – координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).


vec{n}(a;b;c )

 

3. Косинус угла между векторами vec{a}(x_1;y_1;z_1) и vec{b}(x_2;y_2;z_2) вычисляется по формуле:

cos{beta}={{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }

4. Любой ненулевой вектор vec{m}(a_1;b_1;c _1), лежащий на прямой l, или параллельный прямой l, называется направляющим вектором прямой.

5. Синус угла  betaмежду прямой l и плоскостью alpha равен косинусу угла gamma между нормалью (vec{n}) к плоскости и направляющим вектором прямой (vec{m}), поскольку  {beta}+{gamma}=90^{circ}

sin{beta}=cos{gamma}

То есть синус угла beta между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты vec{m}(a_1;b_1;c _1) и плоскостью, заданной уравнением ax+by+cz+d=0 вычисляется по формуле:

sin{beta}=cos{gamma}=delim{|}{{{a_1}{a}+{b_1}{b}+{c_1}{c}}/{sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2}{sqrt{{a}^2+{b}^2+{c}^2}} }}{|}

Решим задачу:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

 

Введем систему координат:

Начало координат поместим в точку В, поэтому все координаты этой точки равны нулю.

Запишем уравнение плоскости SBC. Для этого найдем координаты точек S, B и C и подставим их в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0

B(0;0;0)

C(0;1;0) (все ребра пирамиды равны 1)

Чтобы найти координаты точки S сначала найдем координаты ее проекции на плоскость основания, а затем ее координаты по оси OZ:

S({1/2};{1/2};{sqrt{2}}/2)

Так как плоскость SBC проходит через начало координат, d=0,

Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{b=0} {{1/2}a+{1/2}b+{sqrt{2}/2}c=0} {x-8y+9z=0}}}{ }

Отсюда b=0, {1/2}a=-{sqrt{2}/2}c.

Уравнение плоскости имеет вид:

-{sqrt{2}}c x+cz=0. Разделим обе части равенства на с, получим:

-{sqrt{2}} x+z=0.

Таким образом, вектор нормали к плоскости SBC имеет координаты:

vec{n}({-sqrt{2}};0;1 )

Найдем координаты направляющего вектора прямой BD. Для этого найдем координаты точек B и D, а затем из координат конца вычтем координаты начала.

D(1;1;0)

B(0;0;0), vec{BD}(1;1;0)

sin{beta}=delim{|}{{-{sqrt{2}}*{1}}/{sqrt{{(-{sqrt{2})}^2+1}sqrt{1+1}} }{|}=1/{sqrt{3}}={sqrt{3}}/3

Ответ: {sqrt{3}}/3

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Другие записи из категории "C2 (2014)":

Отзывов (52)

  1. любовь:

    Учебники геометрии авторов Л.С.Атанасян и Погорелова «отдыхают»по сравнению с Вашими объяснениями,разбором задач.Жизнено важная тема»Вычисление углов между прямыми и плоскостями у Атанасяна 10-11 класс уместилась в п.48 на пол-странице без всяких примеров.Не зря ученики говорят «учебники составлялись для кого угодно,но только не для учеников».Спасибо,Инна.Мои ученики теперь с удовольствием решают геометрические задачи из части «С»,благодаря Вашим урокам.

    • Инна:

      Спасибо, Любовь! Я тут недавно в одно действие с помощью метода координат решила задачу, которую геометрически замучилась решать. Скоро опубликую.

      • Александр:

        у Вас Сложное становится Простым, спасибо за науку. есть вопрос-задача, непростой, но нужный реально, может, решите? как навести антенну на произвольный геостационарный спутник? известны широта и долгота приемника спутникового телевидения, его высота над уровнем моря (т.е.полностью геокоординаты) . известен меридиан, на котором висит некий телевещательный спутник. нужно найти угол места и угол азимута , под которыми этот спутник виден с точки приема. т.е.куда наводить антенну?

    • Ученик, 11 класс:

      Атанасян 1992-(20006) пункт 52 и 53* !!! Все прекрасно объяснено.

  2. Римма:

    наконец-то научилась решать с2 методом координат. спасибо Вам огромное!

  3. оля:

    я не умею решать метод координат …. научите

  4. оля:

    почему B(0;0;0)

    C(0;1;0)

    S({1/2};{1/2};{sqrt{2}}/2) объясните

    • Артем:

      В данном случаи. Б-это начало координат, Точка С отдалилась от точки Б : по х на 0 , по y на 1 (т.к сторона BC =1), по Z на 0 (не поднялась наверх – значит 0). Точка S находится на середине AB и BC (стороны равны 1, а середина стороны 1/2) Корень из 2 /2 нашли с помощью треугольника , с катетами 1/2, а искомое расстояние гипотенуза.

  5. Анна:

    Здравствуйте, Инна! Скажите, что делать, если плоскость АВС принадлежит плоскости ОХ ОУ, как найти уравнение этой плоскости, если координаты точек принадлежащих плоскости равны: A(12корней из3;12;0)В(0;-24;0)С(12корней из3;12;0)?
    Часто возникают проблемы в подобных задачах при нахождении уравнения плоскости,очень надеюсь на вашу помощь!
    Заранее спасибо!

    • Инна:

      В этом случае удобно находить не по трем точкам, а через координаты вектора нормали. Если плоскость проходит через ОХ ОУ, то вектор нормали имеет координаты (0;0;1), тогда уравнение плоскости z=0. – это как в координатах на плоскости: прямая ОУ имеет уравнение х=0.

  6. Анна:

    Инна,спасибо за предыдущий ответ. Скажите еще, по какой формуле можно найти расстояние от точки и прямой?

  7. El:

    Добрый вечер. Хотел бы спросить, какое уравнение плоскости соответствует основанию пирамиды, если все точки основания этой пирамиды лежат на нулевой аппликате, и она проходит через начало координат? Дело в том, что при составлении уравнения все уничтожается a = b, b = 0, и c = 0, и получается точка или вектор нормали с координатами 0, 0, 0.

    • Инна:

      Если я вас правильно поняла, все точки основания лежат в плоскости ХОУ, то есть плоскости, содержащей оси ОХ и ОУ. В этом случае вектор нормали лежит на оси ОZ и тогда можно взять его координаты (0;0;1)

  8. El:

    Благодарю за оперативной ответ Инна. Попробовал решить по Вашему методу. Вот условие задачи: В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AA1 = 4, A1D1 = 6, C1D1 = 6 (то есть в основании лежит квадрат), найдите тангенс угла между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B1C1 соответственно. Ну, поскольку sin(A)=cos(B) из следствия вашей формулы, то отношение arcsin к arccos и будет тангенс угла. У меня получилось так: Нахожу уравнение плоскости ADD1, это прямоугольная боковая грань параллелепипеда AA1D1D, координаты точки A(0, 6, 0), A1(0, 6, 4) и D(6, 6, 0),так как плоскость не проходит через начало координат имеем следующую систему:
    6b + 1 = 0
    6a + 6b + 1 = 0
    6a + 4c + 1 = 0
    Выражаем все данные:
    b = -(1/6);
    a = 0;
    c = -(1/4);
    Подставляем в общий вид уравнения плоскости со всеми преобразованиями:
    4x + 6c = 0
    Вектор нормали получается имеет координаты { 4, 0, 6 };
    Теперь находим вектор прямой EF, так как точки являются серединами отрезков, то достаточно найти полусумму двух векторов, и затем вычесть из координата конца вектора, координаты начала получившихся точек. Получается =>
    Точки: E(0, 3, 0), F(3, 0, 4) => Вектор => { 3, -3, 4 };
    Подставляю в формулу нахождения угла между прямой и плоскостью:
    sin(A) = cos(B) = | ( 12 + 24 ) / sqrt( 34 * 52 ) | = | 18 / sqrt( 221 ) |
    sqrt – арифметический квадратный корень.
    На мой взгляд получается какая-то ерунда. То есть tg(C) = acrsin(18/sqrt(221)) / acrccos(18/sqrt(221)). Быть может я допустил ошибку в рассуждениях? Пробовал решить эту задачу геометрическим способом. Но проекцию построить невозможно, так как точка пересечения этой прямой с заданной плоскостью лежит за пределами этого параллелепипеда, таким образом, что приходиться дорисовывать плоскость, продолжая её за пределы листа.

  9. Инна:

    1. tga=sina/cosa – ни в коем случае не отношение обратных функций
    2. В основании ABCD лежит прямоугольник
    3. Если ось ОХ направить вдоль ребра АВ, то вектор нормали будет иметь координаты (6;0;0) 4. Плоскость ВВ1С1 параллельна плоскости AA1D1 и можно найти угол между прямой и плоскостью ВВ1С1. В этом случае ЕВ – перпендикуляр, а ВF – проекция наклонной.

  10. El:

    Благодарю за пояснительный ответ, Инна. Да, прощу прощения ошибся в определении тангенса. Так или иначе я не понимаю допущенную собою ошибку. Я прилагаю Вам два файла – картинки, первый способ – решение геометрическим способом, второй – векторным, с помощью введения ортогональной системы координат. В первом способе ответ получился более удовлетворяющим меня. Во втором способе, как можете видеть Вы, вновь имеем не извлекаемый корень. И да, я вчера находясь в весьма изнуренном состоянии допустил некоторую ошибку при выведении уравнения плоскости. Это я учел в своем новом рисунке. Прошу Вас, взглянуть на них, что может быть не так?
    1) Геометрический способ:
    http://img39.imageshack.us/img39/6589/geom.jpg
    2) Векторный способ:
    http://img823.imageshack.us/img823/2096/geomvec.jpg
    Какая же проблема в поступлении в университет. Ранее в наших школах ЕГЭ вообще не практиковалось. Векторы были выброшены из раздела геометрии нашим преподавателем, который пояснил такое действие тривиально просто: это вам не нужно. Очень жаль, что Вы находитесь так далеко от меня. Я бы с огромным удовольствием посещал Ваши репетиторские занятия. Огромное Вам уважение.

    • Инна:

      К сожалению, у меня нет возможности проверить ваше решение. Прочитайте, пожалуйста еще раз мой предыдущий ответ – он содержит правильное решение.

    • Инна:

      Правильный ответ (3√5)/10

  11. El:

    Спасибо, а есть четкое определение нормали вектора? Просто я не совсем понимаю, это единичный радиус вектор, исходящий из начало координат и перпендикулярный к той или иной плоскости для которой мы его ищем? Тут вся проблема в определении. Я не совсем понимаю того, что собственно делаю.

    • Инна:

      Это вектор, перпендикулярный плоскости. Его длина не имеет значения. Координаты вектора не зависят от координат его начала – он не обязательно выходит из начала координат. Это может быть направляющий вектор любой прямой, перпендикулярной плоскости.

  12. Наталья:

    Здравствуйте! Не могли бы вы помочь мне с решением? Решила вашим методом, вроде бы все поняла, но ответ не совпадает… n у меня имеет координаты (0,-1/8, -1/8). Мой ответ-арксинус 4 корней из 2 деленный на 17. Помогите, пожалуйста. В прямоугольном параллелепипеде MNPQM1N1P1Q1 ребра MN=15, MQ=M1M =8.Найдите угол между QP1 и плоскостью QPN1

    • Инна:

      У меня получился такой же ответ.

      • Наталья:

        Спасибо вам громаднейшее, видимо опечатка была в ответе. У меня возникли проблемы с решением аналогичной задачи, не могли бы посмотреть? В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B121D1 ребра AB=4, АА1=AD =3. Найти угол между прямой B1D1 и плоскостью AD1C1. Проблема в нахождении вектора n, странная система получается… d здесь = 1? мой ответ получается совсем простым- арксинус 4/25, в учебнике ответ – 3 корня из 2/ деленное на 10. Что делать, если n получается равным нулю , я имею в виду координаты? Извините за вторичное беспокойство…

  13. Наталья:

    Спасибо большое, что ответили, но мой ответ с вашим не совпадет, все коэффициенты уничтожаются… Спасибо еще раз за подсказку, перерешаю на свежую голову!

  14. Алексей:

    Все понятно в вашем решении для меня, но я не понял как вы нашли синус, расскажите пожалуйста подробнее?

  15. Галина:

    И все таки никак не выходит составить уравнение плоскости проходящей через начало координат напримерв(0,0,0) а1 (1,0,1)д1 (1,1,1)

    • Инна:

      Если плоскость проходит через начало координат, d=0. Может так получиться, что количество неизвестных в системе будет больше, чем количество уравнений. В этом случае нужно два неизвестных выразить через третье, например, а и b через с, а потом разделить на с. В вашем случае получается b=0, а=-с. Получается уравнение -сх+0у+сz=0. Делим на с , получаем -х+0у+ z=0. Координаты вектора нормали (-1;0;1)

  16. Галина Катаева:

    Подробнее можно уравнение плоскости проходящей через начало координат

  17. Анна:

    А можно эту же задачу решать не через координаты, а через единичные векторы i,j,k, направленные вдоль осей Ox, oy, oz?

  18. Сергей:

    Урок неплох, но я, простите, глазом зацепился за одну не совсем правильную формулировку:
    «найдем длины проекций точки S на оси координат»
    проекцией точки хоть на плоскость, хоть на ось координат является точка. А точка не может иметь длинны.

  19. Ксения:

    Инна Владимировна, простите, кажется, у вас опечатка в последней формуле с синусом – я вместо нее подставила формулу из теории в начале статьи и все получилось) или я что-то неправильно поняла?

  20. Сергей:

    Инна, можете в трёх словах объяснить когда мы должны использовать синус,а когда косинус? я не могу разобраться

    • Инна:

      Мы можем найти косинус угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали. Но нам нужен не этот угол, а угол между направляющим вектором прямой и направляющим вектором проекции этой прямой. Синус угла между направляющим вектором прямой и направляющим вектором проекции этой прямой равен косинусу угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали.

  21. Таня:

    Скажите, пожалуйста, почему в первой системе уравнений b =0?

  22. Екатерина:

    Инна Владимировна, спасибо Вам огромное! С геометрией у меня всегда были проблемы, а с Вашим сайтом теперь начинаю понемногу её понимать! Объяснения понятные, все разобрано подробно! Чудесный сайт замечательного преподавателя!

  23. Александр:

    например, коорд.дачи 56,4790 с.ш. 36,7765 в.д. высота 175м над ур.моря. спутник Hot Bird висит над меридианом 13,2град. на высоте 42152км от центра Земли. как с дачи его увидеть, на какой высоте и азимуте? очень желательно также учитывать эллипсность земного шара(Земля сплюснута у полюсов на 21км) .

  24. Ольга:

    В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник, а её боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания. На рёбрах AB И AD взяты соответственно тачки P,Q – середины этих рёбер. Отношение рёбер пирамиды AB:AD:SB=1:2:1. Найти углы, которые образуют с плоскостью грани SCD и прямой SA

    Помогите пожалуйста решить

  25. Nataly:

    в прямоугольном параллелепипеде mnpqm1n1p1q1 ребра mn=15 mq=mm1=8 найдите угол между qp1 и плоскостью qpn1

  26. Софья:

    А если бы d не было равно нулю, т.е. если бы плоскость не проходила через начало координат, то как найти d? И в каком случае тогда вместо «a» можно подставлять любое число, как здесь: http://reshuege.ru/problem?id=501125

    • Инна:

      Если плоскость не проходит через начало координат, принимаем d=1. вместо «a» можно подставлять любое число, если имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными, в этом случае два неизвестных выражаем через третье, а это третье может быть любым числом.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>