В этой статье я еще раз покажу вам решение задачи на нахождение угла между плоскостями с помощью метода координат. Мы воспользуемся тем фактом, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими нормали к этим плоскостям.
Задача такая:
Основание прямой четырехугольной призмы - прямоугольник , в котором , . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой , если расстояние между прямыми и равно 5.
Геометрическое решение этой задачи весьма неочевидно, однако, с помощью метода координат она решается в одно действие.
Заметим несколько важных вещей:
1. Угол между плоскостью основания и плоскостью, перпендикулярной прямой , не зависит от точки, через которую проведена эта плоскость. Поэтому мы эту точку даже не будем наносить на чертеж.
2. Прямые и лежат в параллельных плоскостях и , поэтому расстояние между ними равно расстоянию между плоскостями, то есть высоте призмы. Отсюда .
3. Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания.
Поместим нашу призму в систему координат и нанесем на чертеж данные задачи:
Вспомним, что
1. В уравнении плоскости коэффициенты являются координатами вектора нормали к плоскости.
2. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими нормали к этим плоскостям (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами)
Получается, что в этой задаче нам нужно найти угол между вектором ( по условию задачи плоскость проведена перпендикулярно прямой ) и вектором (это вектор нормали к плоскости основания).
Косинус угла между векторами и вычисляется по формуле:
Найдем координаты вектора
Пусть - угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой .
Тогда
Ответ:
Инна, подскажите, пожалуйста! Как понять, когда мы ищем косинус, а когда синус? Не понятно объяснение с вектором нормали.
Спасибо за вопрос. Я уточнила, посмотрите здесь: //ege-ok.ru/2012/03/28/ugol-mezhdu-pryamoy-i-ploskostyu-metod-koordinat-zadanie-s2/
Я ни как не могу понять, как нужно определять угол между плоскостями на чертеже…научите пожалуйста..
//ege-ok.ru/2012/05/02/ugol-mezhdu-ploskostyami-geometricheskiy-metod-resheniya-zadanie-s2/
Инна,здравствуйте. Я не могу подставить координаты в уранениеплоскости. Помогите пожалуйста. Заранее спасибо.
Из треугольника BB_1D_1 находим тангенс угла B_1BD_1, а через него искомый косинус. Гораздо проще.
Да, разумеется. Но в этой статье я рассматривала именно метод координат.
Здравствуйте,Инна. Скажите,пожайлуста,если у меня дана плоскость,например,АВС,как мне записать её координаты?? вектор нормали h или n надо писать,да?? И координаты к нему? Это когда я уже нашёл d. Например:d=-2x-4y-4z. Какую букву(вектор) мне использовать при записи координат x=-2,y=-4,z=-4. Как будет более правильно. Заранее благодарю!
Сергей, я не очень поняла вопрос, отвечу, как поняла. У плоскости нет координат, есть ее уравнение: ax+by+cz+d=0. Вектор нормали можно обозначить любой буквой, например n. Его координаты n(a,b,c) Когда мы находим коэффициенты a,b,c в уравнении плоскости: если плоскость проходит через начало координат, то мы принимаем d=0, а если не проходит, то d=1. Мы d не ищем.
Принцепи понятно=) Спасибо вам большое!
Это желательно знать каждому ))