Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Угол между плоскостями и вектор нормали. Задание С2

В этой статье я еще раз покажу вам решение задачи на нахождение угла между плоскостями с помощью метода координат. Мы воспользуемся тем фактом, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими  нормали к этим плоскостям.

Задача такая:

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 - прямоугольник A_1B_1C_1D_1, в котором A_1B_1=12A_1D_1=sqrt{31}. Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра A_1D_1 перпендикулярно прямой BD_1, если расстояние между прямыми AC и B_1D_1 равно 5. 

Геометрическое решение этой задачи весьма неочевидно, однако, с помощью метода координат она решается в одно действие.

Заметим несколько важных вещей:

1.  Угол между плоскостью основания и плоскостью, перпендикулярной прямой BD_1, не зависит от точки, через которую проведена эта плоскость. Поэтому мы эту точку даже не будем наносить на чертеж.

2. Прямые AC и B_1D_1 лежат в параллельных плоскостях ABCD и A_1B_1C_1D_1, поэтому расстояние между ними равно расстоянию между плоскостями, то есть высоте призмы. Отсюда  DD_1=5.

3. Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания.

Поместим нашу призму в систему координат и нанесем на чертеж данные задачи:

Вспомним, что

1. В уравнении плоскости ax+by+cz+d=0 коэффициенты (a;b;c) являются координатами вектора нормали к плоскости.

2. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими нормали к этим плоскостям (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами)

Получается, что в этой задаче нам нужно найти угол между вектором BD_1 ( по условию задачи плоскость проведена перпендикулярно прямой BD_1) и вектором B_1B (это вектор нормали к плоскости основания).

Косинус угла  beta между векторами vec{a}(x_1;y_1;z_1) и vec{b}(x_2;y_2;z_2) вычисляется по формуле:

cos{beta}={{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }

Найдем координаты вектора BD_1

B(0;0;5)

D_1(sqrt{31};12;0)

vec{BD_1}(sqrt{31};12;-5)

vec{B_1B}(0;0;5)

Пусть beta  - угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD_1.

Тогда cos{beta}=delim{|}{{-25}/{sqrt{(sqrt{31})^2+12^2+({-5})^2}sqrt{25}}}{|}=5/{sqrt{200}}=1/{2sqrt{2}}={sqrt{2}}/4

Ответ: {sqrt{2}}/4

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Угол между плоскостями и  вектор нормали. Задание С2

Отзывов (11)

  1. Иван

    Инна, подскажите, пожалуйста! Как понять, когда мы ищем косинус, а когда синус? Не понятно объяснение с вектором нормали.

  2. Максим

    Я ни как не могу понять, как нужно определять угол между плоскостями на чертеже…научите пожалуйста..

  3. Алаш

    Инна,здравствуйте. Я не могу подставить координаты в уранениеплоскости. Помогите пожалуйста. Заранее спасибо.

  4. Юлия

    Из треугольника BB_1D_1 находим тангенс угла B_1BD_1, а через него искомый косинус. Гораздо проще.

    • Инна

      Да, разумеется. Но в этой статье я рассматривала именно метод координат.

  5. Сергей

    Здравствуйте,Инна. Скажите,пожайлуста,если у меня дана плоскость,например,АВС,как мне записать её координаты?? вектор нормали h или n надо писать,да?? И координаты к нему? Это когда я уже нашёл d. Например:d=-2x-4y-4z. Какую букву(вектор) мне использовать при записи координат x=-2,y=-4,z=-4. Как будет более правильно. Заранее благодарю!

    • Инна

      Сергей, я не очень поняла вопрос, отвечу, как поняла. У плоскости нет координат, есть ее уравнение: ax+by+cz+d=0. Вектор нормали можно обозначить любой буквой, например n. Его координаты n(a,b,c) Когда мы находим коэффициенты a,b,c в уравнении плоскости: если плоскость проходит через начало координат, то мы принимаем d=0, а если не проходит, то d=1. Мы d не ищем.

  6. Сергей

    Принцепи понятно=) Спасибо вам большое!

  7. Простой

    Это желательно знать каждому ))

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *