В этой статье мы рассмотрим линейную функцию, график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.
Линейной функцией называется функция вида
В уравнении функции число , которое мы умножаем на называется коэффициентом наклона.
Например, в уравнении функции ;
в уравнении функции ;
в уравнении функции ;
в уравнении функции .
Графиком линейной функции является прямая линия.
1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции , удобно взять и , тогда ординаты эти точек будут равны и .
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :
2. В уравнении функции коэффициент отвечает за наклон графика функции:
- если , то график наклонен вправо
- если , то график наклонен влево
Коэффициент отвечает за сдвиг графика вдоль оси :
- если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вверх вдоль оси
- если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вниз вдоль оси
На рисунке ниже изображены графики функций ; ;
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.
Во всех функциях - и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций ; ;
На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.
Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций ; ;
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .
Если k<0 и b>0, то график функции имеет вид:
Если k>0 и b>0, то график функции имеет вид:
Если k>0 и b<0, то график функции имеет вид:
Если k<0 и b<0, то график функции имеет вид:
Если k=0 , то функция превращается в функцию и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции равны
Если b=0, то график функции проходит через начало координат:
Это график прямой пропорциональности.
3. Отдельно отмечу график уравнения . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси все точки которой имеют абсциссу .
Например, график уравнения выглядит так:
Внимание! Уравнение не является функцией, так как различным значениям функции соответствует одно и то же значение аргумента, что не соответствует определению функции.
4. Условие параллельности двух прямых:
График функции параллелен графику функции , если
5. Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции перпендикулярен графику функции , если или
6. Точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (;0):
Рассмотрим решение задач.
1. Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.
В уравнении функции два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.
а) Из того, что график функции параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид
б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:
отсюда b=-10
Таким образом, нам надо построить график функции
Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.
Итак, уравнение прямой .
3. Постройте график уравнения
Чтобы найти, при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть ОДЗ каждого множителя.
Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:
Построим графики всех уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения :
4. Постройте график функции , если он перпендикулярен прямой и проходит через точку М(-1;2)
Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.
а) Так как график функции , если он перпендикулярен прямой , следовательно , отсюда . То есть уравнение функции имеет вид
б) Мы знаем, что график функции проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:
, отсюда .
Следовательно, наша функция имеет вид: .
5. Постройте график функции
Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.
Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому , .
Тогда наша функция принимает вид:
То есть нам надо построить график функции и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Найти уравнение прямой, проходящей через (3, 4), и параллельно
4x + 2y = 5??? please
2y=5-4x; y=-2x+2,5
Коэффициент наклона этой прямой равен -2. Следовательно, уравнение искомой прямой имеет вид у=-2х+b. Чтобы найти b нужно координаты точки (3, 4) подставить в это уравнение.
напишите уравнение прямой проходящей через две данные точки А(2:5)B(5;2)
Как понять каким числом является k, а каким b, если дан только рисунок?
b — ордината точки пересечения графика с осью ОУ. Чтобы найти k, нужно выбрать на графике 2 точки с целыми координатами. Затем через точку, которая расположена выше провести прямую параллельно оси ОУ, а через вторую точку — прямую параллельно оси ОХ. Получится прямоугольный треугольник. Модуль k равен отношению вертикального катета к горизонтальному. Если прямая наклонена влево, то k<0, если вправо, то k>0.
Извините, конечно, но получается неправильно написано у Вас.
«Если прямая наклонена влево, то k0.»
К примеру: y=1/4x+1
Наклонена влево (левый край внизу), но k-положительный.
Опечатка?
Не корректно вставилось — в цитате «, то K<0"
Если смотреть направление по направлению оси ОУ, то лево идет по верхнему краю прямой.
Приведите 2 примера постоянной функции. Как
проходит её график?
у=5 — прямая, параллельная оси ОХ
У вас написано:
«Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.»
Исправьте на:
«Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так как различным значениям ФУНКЦИИ соответствует одно и то же значение АРГУМЕНТА, что не соответствует определению функции.»
Большое спасибо! Исправила.
Укажи линейную функцию, график которой перпендикулярен графику функции y = – 5x + 4, а свободный член равен –11.
Графики функций и перпендикулярны, если