Решение иррациональных неравенств
В этой статье я расскажу, как решать иррациональные неравенства.
Сначала мы рассмотрим решение неравенства вида
Чтобы его решить, нужно обе части неравенства возвести в квадрат и вовремя вспомнить об ОДЗ: подкоренное выражение меньшего из корней должно быть неотрицательным - тогда подкоренное выражение большего корня автоматически будет больше нуля. Таким образом, неравенство вида равносильно системе неравенств:
Практически все сложные иррациональные неравенства, в конечном итоге сводятся к базовым иррациональным неравенствам двух типов.
Иррациональные неравенства первого типа:
Заметим, что в левой части неравенства стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения, следовательно, чтобы неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной.
Получаем первое условие:
Чтобы решить неравенство, нам нужно обе части возвести в квадрат.
Получаем второе условие:
Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому не забываем про ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Получили третье условие:
Итак, неравенство вида равносильно системе неравенств:
Аналогично, нестрогое неравенство равносильно системе неравенств:
Иррациональные неравенства второго типа: .
Не смотря на то, что это неравенство с виду похоже на неравенство первого типа, оно принципиально от него отличается.
Поскольку в левой части неравенства стоит квадратный корень, левая часть всегда неотрицательна, поэтому
- если , то неравенство выполняется при любом допустимом значении x, то есть при =0" title="f(x)>=0"/>.
- если , то мы можем обе части неравенства возвести в квадрат, получим , и условие на ОДЗ будет автоматически следовать из этого неравенства.
Итак, неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств:
Нестрогое неравенство вида равносильно совокупности:
.
Рассмотрим примеры решения иррациональных неравенств.
1. Решить неравенство:
Это неравенство второго типа, оно равносильно совокупности двух систем:
Решим каждое неравенство:
1.
D=1-8=-7, старший коэффициент больше нуля, следовательно это неравенство верно при любом значении х. Решением первой системы будет решение ее второго неравенства: x≥2.
2. Очевидно, что это неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся вторая система не имеет решений.
Ответ: x≥2.
2. Решить неравенство:
Это иррациональное неравенство первого типа, и оно равносильно системе трех неравенств:
Решим каждое неравенство:
1.
2.
D=144-200<0, следовательно, это неравенство верно при любом значении х.
3.
,
Совместим решения первого и третьего неравенств системы на одной координатной прямой:
Ответ: 0≤ x ≤ 2.
спасибо