Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Решение иррациональных неравенств

Решение иррациональных неравенств

В этой статье я расскажу,  как решать иррациональные неравенства.

Сначала мы рассмотрим решение неравенства вида   sqrt{f(x)}< sqrt{g(x)}  

Чтобы его решить, нужно обе части неравенства возвести в квадрат и вовремя вспомнить об ОДЗ: подкоренное выражение меньшего из корней должно быть неотрицательным - тогда подкоренное выражение большего корня автоматически будет больше нуля. Таким образом, неравенство вида   sqrt{f(x)}< sqrt{g(x)}   равносильно системе неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)<g(x)} {f(x)>=0} }}{ }  

Практически все сложные иррациональные неравенства, в конечном итоге сводятся к базовым иррациональным неравенствам двух типов.

Иррациональные неравенства первого типа:    sqrt{f(x)}<g(x)  

Заметим, что в левой части неравенства стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения, следовательно, чтобы неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной.

Получаем первое условие: g(x)>0  

Чтобы решить неравенство, нам нужно обе части возвести в квадрат.

Получаем второе условие: f(x)<{(g(x) )}^2 

Возведение в квадрат может привести к появлению  посторонних корней, поэтому не забываем про ОДЗ: подкоренное выражение   должно быть неотрицательным.

Получили третье условие:  f(x)>=0  

Итак, неравенство вида    sqrt{f(x)}<g(x)  равносильно системе неравенств:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{g(x)>0 } { f(x)<{(g(x))}^2} {f(x)>=0}}}{ }  

Аналогично, нестрогое неравенство   sqrt{f(x)}<=g(x)   равносильно системе неравенств:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{g(x)>=0 } { f(x)<={(g(x))}^2} {f(x)>=0}}}{ }  

Иррациональные неравенства второго типа:    sqrt{f(x)}>g(x)  .

Не смотря на то, что это неравенство с виду похоже на неравенство первого типа, оно принципиально от него отличается.

Поскольку в левой части неравенства стоит квадратный корень, левая часть всегда неотрицательна, поэтому

  • если g(x) <0 , то неравенство   sqrt{f(x)}>g(x) выполняется при любом допустимом значении x, то есть при =0" title="f(x)>=0"/> .
  • если g(x) >=0 , то мы можем обе части неравенства возвести в квадрат, получим f(x)>{(g(x))}^2 , и условие на ОДЗ f(x)>0  будет автоматически следовать из этого неравенства.

Итак, неравенство вида    sqrt{f(x)}>g(x)  равносильно совокупности двух систем неравенств:

delim{[}{matrix{2}{1}{{delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{g(x) <0} { f(x)>=0} }}{ }} {delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{g(x) >=0} {f(x)>{(g(x))}^2 } }}{ }} }}{ } 

Нестрогое неравенство вида   sqrt{f(x)}>=g(x)  равносильно совокупности:

delim{[}{matrix{2}{1}{{delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{g(x) <0} { f(x)>=0} }}{ }} {delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{g(x) >=0} {f(x)>={(g(x))}^2 } }}{ }} }}{ }. 

Рассмотрим примеры решения иррациональных неравенств.

1. Решить неравенство:

sqrt{x-2}>-x^2+x-2 

Это неравенство второго типа, оно равносильно совокупности двух систем:

delim{[}{matrix{2}{1}{{delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-x^2+x-2 <0} {x-2>=0} }}{ }} {delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-x^2+x-2>=0} {x-2>({-{x}^2+x-2})^2 } }}{ }} }}{ } 

Решим каждое неравенство:

1.  -x^2+x-2 <0 

x^2-x+2 >0 

D=1-8=-7, старший коэффициент больше нуля, следовательно это неравенство верно при любом значении х. Решением первой системы будет решение ее второго неравенства: x≥2.

2.  -x^2+x-2 >=0    Очевидно, что это неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся вторая система не имеет решений.

Ответ: x≥2.

2. Решить неравенство:

sqrt{2x-x^2}<5-x    

Это иррациональное неравенство первого типа, и оно равносильно системе трех неравенств:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{5-x>0 } {2x-x^2<{(5-x )}^2} {2x-x^2>=0}}}{ }  

Решим каждое неравенство:

1.  5-x>0 

x<5   

2. 2x-x^2<{(5-x )}^2 

2x-x^2<25-10x+25  

2x^2-12x+25>0   

D=144-200<0, следовательно, это неравенство верно при любом значении х.

3. 2x-x^2>=0 

x_1=0,  x_2=2

Совместим решения первого и третьего неравенств системы на одной координатной прямой:

Ответ: 0≤ x ≤ 2.  

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Решение иррациональных неравенств

Отзывов (15)

  1. Гуля

    спасибо

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *