В этой статье я расскажу, как решать тригонометрические уравнения с помощью разложения на множители. Чаще всего разложение на множители применяется в уравнениях, которые содержат тригонометрические функции с углами, кратность которых больше трех.
При решении тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители мы преобразуем сумму или разность тригонометрических функций в произведение с помощью тригонометрических формул:
Заметим, что во всех этих формулах присутствует полусумма и полуразность аргументов синуса и косинуса.
Алгоритм применения метода разложения на множители я покажу на таком классическом уравнении:
1. Наша задача сгруппировать синусы по два так, чтобы при разложении на множители в каждой группе появились одинаковые множители.
Попробуем сгруппировать так:
2. Сумму синусов в каждой скобке разложим на множители:
Упростим, и учтем четность косинуса:
Удалось! В каждом произведении у нас есть одинаковый множитель
(Если общий множитель не появился, нужно попробовать сгруппировать по-другому. )
3. Вынесем общий множитель за скобку:
4. Ещё раз преобразуем в произведение сумму синусов в скобках:
5. Так как каждый множитель произведения не имеет ограничений на ОДЗ, просто приравняем каждый множитель к нулю:
a) ,
,
,
б)
,
,
в)
,
Ответ: , ,
,
,
Иногда, прежде чем преобразовывать сумму тригонометрических функций в произведение, нужно сначала преобразовать произведение в сумму.
Для этого мы используем вот эти тригонометрические формулы:
Решим уравнение:
Уравнение в таком виде нам не удается разложить на множители. Преобразуем сначала произведения в правой и левой части уравнения в сумму:
Получим:
Преобразуем разность синусов в произведение:
Приравняем каждый множитель к нулю:
,
,
Ответ: ,
И, наконец, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с подробным решением тригонометрического уравнения из Задания С1:
Решить уравнение , в ответе записать решения уравнения, принадлежащие промежутку
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"
Спасибо за прекрасную подачу материала. Как раз сейчас дочка в лицее проходит тему «Решение тригонометрических уравнений», поэтому статья будет для нее полезной.
Исправте ошибки! В формуле. в постановке скобок!
Уточните пожалуйста, где именно.
В формуле»Перевода произведения в сумму»
Я не увидела ошибку
там должен стоять знак +, а у Вас *
Где «там»?
в пункте4. при решении первого уравнения, где сумму в произведение не потеряли число 2 в скобках?
Потеряла. Спасибо, исправила.
Ну, а тогда, наверно и в следующей строчке будет 4, а не 2 . хотя на ответ это конечно не повлияет, спасибо!
Ну да 🙂 Исправила
Ещё раз спасибо за ваш труд!!