Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Исследование функции. Задание В14 (2014)

В этой статье я продолжу объяснение решения задач на  исследование  функции с помощью производной из задания В15, а именно задач на нахождение максимума и минимума функции.

Я хочу показать решение задач, которые вызывают наибольшие затруднения у моих учеников.

Чтобы найти максимум или минимум функции, нужно следовать такому алгоритму:

1. Найти производную функции.

2. Приравнять ее к нулю.

3. С помощью метода интервалов  определить промежутки, на которых производная сохраняет знак.

4. Если нам нужно найти точку максимума функции, ищем точку, в которой производная меняет знак с "+" на "-".

Если нам нужно найти точку минимума функции, ищем точку, в которой производная меняет знак с "-" на "+".

 

1. Задание B15 (№ 26726)

Найдите точку максимума функции y=(x-2)^2 {e^{x-6}} .

1. Найдем производную функции. Для начала удобно представить (x-2)^2   в виде x^2-4x+4, тогда y=(x^2-4x+4)e^{x-6}

Найдем производную функции по формуле производной произведения

y^{prime}=(x^2-4x+4)^{prime}e^{x-6}+(x^2-4x+4)( {e^{x-6}})^{prime}=(2x-4)e^{x-6}+(x^2-4x+4){e^{x-6}}

Вынесем за скобку e^{x-6} . Получим

y^{prime}=e^{x-6}(2x-4+x^2-4x+4)=e^{x-6}(x^2-2x)

2. Приравняем производную к нулю:

 e^{x-6}(x^2-2x)=0. Первый множитель всегда больше нуля.

x^2-2x=0

x_1=0,x_2=2

3.  Нанесем эти корни на координатную прямую и расставим знаки.

4. Производная меняет знак с "+" на "-" в точке х=0, следовательно это и есть точка максимума функции.

Ответ: 0

 

2. Задание B15 (№ 77435)

Найдите точку максимума функции y=7+12x-x^3 .

1. y^{prime}=({7+12x-x^3})^{prime}=12-3x^2

2. 12-3x^2=0 

x_1=2,x_2=-2

3. Нанесем корни на числовую ось и расставим знаки.

Внимание! В этом месте школьники часто делают ошибку. Мы расставляем знаки для производной, которую получили в п.1. Иногда при нахождении корней производную умножают на (-1), и потом расставляют знаки уже для преобразованного уравнения производной. Это ошибка.

4. Производная меняет знак с "+" на "-" в точке х=2, следовательно это и есть точка максимума функции.

Ответ: 2

3. Задание B15 (№ 77454)

Найдите наименьшее значение функции   y={2/3}x^{3/2}-3x+1   на отрезке delim{[}{1;9}{]}.

1. y^{prime}=({2/3}x^{3/2}-3x+1)^{prime}={2/3}*{3/2}x^{3/2-1}-3 =x^{1/2}-3

2. x^{1/2}-3=0 

x=9

Производная меняет знак в правом конце отрезка. При x<9 производная функции y={2/3}x^{3/2}-3x+1  отрицательна, следовательно, функция убывает на отрезке delim{[}{1;9}{]}. Следовательно, наименьшее значение она принимает в правом конце отрезка, то есть в точке х=9.

3. Подставим х=9 в уравнение функции:

y(9)={2/3}*9^{3/2}-3*9+1={2/3}*27-27+1=-8

Ответ: -8

4. Задание B15 (№ 77471)

Найдите точку максимума функции y={{16}/x}+x+3 .

ОДЗ функции x<>0.

1. y^{prime}=({{{16}/x}+x+3})^{prime}=-{16}/{x^2}+1

2. -{16}/{x^2}+1=0 

{-16+x^2}/{x^2}=0

x_1=4x_2=-4

Нанесем корни на числовую ось и расставим знаки.  x^2>0 при x<>0 

Производная меняет знак с "+" на "-" в точке х=-4, это и есть точка максимума функции y={{16}/x}+x+3.

Ответ: -4

И, наконец, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я показываю прием, позволяющий устно решать некоторые виды задач из задания В15.

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox


И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Исследование функции. Задание В14 (2014)

Отзывов (12)

  1. Михаил

    У вас в видеоуроке на 3:28 недочет. Вы пишете: x+3=0; x=-2.

    • Инна

      Да, спасибо, там должно быть х+3=1.

  2. Алеся

    Помогите пожалуйста, решить: Найти точку максимума функции (x^2-12*x+12)*e^(5-x). производную нашла, а что дальше?

    • Инна

      приравнять к нулю и найти точку, в которой производная меняет знак с + на —

      • Ирина

        Я не понимаю почем у в примере,что выше У=16/х+Х+3

        На отрезке стоит + — — +
        там же нужно приравнять к нулю? я приравниваю и у меня другие знаки

        • Инна

          Чтобы определить знаки, нужно взять число из самого правого промежутка, например, х=5, подставить в уравнение производной и определить знак производной на промежутке x>4. Затем двигаемся влево, в точке х=4 происходит смена знака, в точке х=0 знак не меняется, т.к. х=0 — корень второй кратности (x^2), при х=-4 опять меняется знак.

  3. Миша

    помогите с этим чё то у меня не получается y=ln(4-x)+2x+25 найти точку максимума

  4. Екатерина

    Здравствуйте) нашла в примере 3 в конце ошибку. Ответ будет не -8, а -10. ( 2/3*27 — 27+1 = -10 )

    • Инна

      2/3*27 – 27+1=18-27+1=19-27=-8

  5. Анастасия

    помогите пожалуйста у=1/3х^3-4x^2+15x-15 найдите точку максимума функции

    • Инна


      Нули производной:
      В точке производная меняет знак с + на -, это точка максимума.

  6. Robert

    А вторую производную взять не легче?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *