В этой статье я продолжу объяснение решения задач на исследование функции с помощью производной из задания В15, а именно задач на нахождение максимума и минимума функции.
Я хочу показать решение задач, которые вызывают наибольшие затруднения у моих учеников.
Чтобы найти максимум или минимум функции, нужно следовать такому алгоритму:
1. Найти производную функции.
2. Приравнять ее к нулю.
3. С помощью метода интервалов определить промежутки, на которых производная сохраняет знак.
4. Если нам нужно найти точку максимума функции, ищем точку, в которой производная меняет знак с "+" на "-".
Если нам нужно найти точку минимума функции, ищем точку, в которой производная меняет знак с "-" на "+".
1. Задание B15 (№ 26726)
Найдите точку максимума функции .
1. Найдем производную функции. Для начала удобно представить в виде , тогда
Найдем производную функции по формуле производной произведения
Вынесем за скобку . Получим
2. Приравняем производную к нулю:
. Первый множитель всегда больше нуля.
3. Нанесем эти корни на координатную прямую и расставим знаки.
4. Производная меняет знак с "+" на "-" в точке х=0, следовательно это и есть точка максимума функции.
Ответ: 0
2. Задание B15 (№ 77435)
Найдите точку максимума функции .
1.
2.
3. Нанесем корни на числовую ось и расставим знаки.
Внимание! В этом месте школьники часто делают ошибку. Мы расставляем знаки для производной, которую получили в п.1. Иногда при нахождении корней производную умножают на (-1), и потом расставляют знаки уже для преобразованного уравнения производной. Это ошибка.
4. Производная меняет знак с "+" на "-" в точке х=2, следовательно это и есть точка максимума функции.
Ответ: 2
3. Задание B15 (№ 77454)
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
1.
2.
Производная меняет знак в правом конце отрезка. При производная функции отрицательна, следовательно, функция убывает на отрезке . Следовательно, наименьшее значение она принимает в правом конце отрезка, то есть в точке х=9.
3. Подставим х=9 в уравнение функции:
Ответ: -8
4. Задание B15 (№ 77471)
Найдите точку максимума функции .
ОДЗ функции .
1.
2.
,
Нанесем корни на числовую ось и расставим знаки. при .
Производная меняет знак с "+" на "-" в точке х=-4, это и есть точка максимума функции .
Ответ: -4
И, наконец, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я показываю прием, позволяющий устно решать некоторые виды задач из задания В15.
У вас в видеоуроке на 3:28 недочет. Вы пишете: x+3=0; x=-2.
Да, спасибо, там должно быть х+3=1.
Помогите пожалуйста, решить: Найти точку максимума функции (x^2-12*x+12)*e^(5-x). производную нашла, а что дальше?
приравнять к нулю и найти точку, в которой производная меняет знак с + на —
Я не понимаю почем у в примере,что выше У=16/х+Х+3
На отрезке стоит + — — +
там же нужно приравнять к нулю? я приравниваю и у меня другие знаки
Чтобы определить знаки, нужно взять число из самого правого промежутка, например, х=5, подставить в уравнение производной и определить знак производной на промежутке x>4. Затем двигаемся влево, в точке х=4 происходит смена знака, в точке х=0 знак не меняется, т.к. х=0 — корень второй кратности (x^2), при х=-4 опять меняется знак.
помогите с этим чё то у меня не получается y=ln(4-x)+2x+25 найти точку максимума
Здравствуйте) нашла в примере 3 в конце ошибку. Ответ будет не -8, а -10. ( 2/3*27 — 27+1 = -10 )
2/3*27 – 27+1=18-27+1=19-27=-8
помогите пожалуйста у=1/3х^3-4x^2+15x-15 найдите точку максимума функции
Нули производной:
В точке производная меняет знак с + на -, это точка максимума.
А вторую производную взять не легче?