Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Угол между скрещивающимися прямыми. Метод координат. Задание С2

В этой статье я расскажу, как находить угол между скрещивающимися прямыми с помощью  метода координат.

Если мы решили использовать этот метод, то будем придерживаться такого алгоритма:

1. Вводим систему координат.

2. Находим координаты  направляющих векторов данных прямых.

 

3. По формуле косинуса угла между векторами находим  косинус угла между направляющими векторами.

 Косинус угла между векторами vec{a}(x_1;y_1;z_1) и vec{b}(x_2;y_2;z_2) вычисляется по формуле:

cos{beta}={{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }

Вот, собствено, и все.

Важное уточнение: за угол между прямыми принимают меньший из двух углов, образованный этими прямыми, поэтому косинус угла между прямыми должен быть больше нуля, и он равен  модулю косинуса угла между направляющими векторами.

Решим задачу.

 В правильной шестиугольной призме A...F_1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми BA_1 и DB_1:1. Введем систему координат:

2. а) Найдем  координаты направляющего вектора прямой A_1B, для этого найдем координаты точек A_1 и B.

Длину отрезка AEнайдем по тереме косинусов из треугольника AOE:

AE =sqrt{1^2+1^2-2*1*1cos{120^{circ}}}=sqrt{3}

A_1(0;sqrt{3};1)B (1;sqrt{3};0)

Чтобы найти координаты вектора vec{A_1B }, из координат конца вычтем координаты начала. Получим:  vec{A_1B }(1;0;-1)

б) Найдем  координаты направляющего вектора прямой B_1D, для этого найдем координаты точек B_1 и D

B_1 (1;sqrt{3};1)

D (1;0;0)

vec{B_1D }(0;-sqrt{3};-1)

3. Найдем косинус угла beta между векторами  vec{A_1B } и  vec{B_1D }.

cos{beta}=delim{|}{{{1}*{0}+{0}*({-sqrt{3}})+({-1})({-1})}/{sqrt{({-1})^2+{0}^2+({-1})^2}{sqrt{{0}^2+({-sqrt{3}})^2+({-1})^2}} }}{|}=1/{2sqrt{2}}={sqrt{2}}/4

Ответ:  {sqrt{2}}/4 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Угол между скрещивающимися прямыми. Метод координат. Задание С2

Отзывов (11)

  1. max

    Здравствуйте,можно поинтересоваться,откуда вы узнали что длина отрезка АЕ равна корню из трёх?Когда читаешь сразу непонятно откуда корень из трёх взялся,в условии задачи та не дано что отрезок АЕ равен корню из трёх а в решении вы написали именно это,Откуда узналось что АЕ равно корню из трёх?

    • Инна

      Хороший вопрос. Уточнила, посмотри в статье.

    • Норат

      В основание шестиугольник, в треуг. АЕО находим АЕ по тео косинуса.

  2. Анастасия

    Инна,здравствуйте!Подскажите пожалуйста, если в ответе получается отрицательное число при нахождении угла между двумя скрещивающимися прямыми,то можем ли мы просто поменять направление вектора(например, дана прямая АВ , а мы возьмем вектор не АВ ,а ВА)?

    • Инна

      Анастасия, спасибо за вопрос. Я уточнила, посмотрите в статье.

  3. Стас

    Инна, что брать за начало вектора??? Или нет разницы

    • Инна

      Начало и конец вектора — две точки, через которые проходит прямая.

  4. Мария

    как определить направление вектора?в смысле,в какую сторону его направить?

    • Инна

      В любую. Косинус берется по модулю.

  5. Наталья

    Добрый день. Зависит ли ответ от выбора системы координат в пространстве. Решала задачу с прямоугольным параллелепипедом ( найти угол между скрешивающимися прямыми), при разном выборе системы координат получались разнве ответы.

    • Инна

      Нет, не зависит. Координаты будут разные, но значение косинуса угла одинаковым. Видимо, у вас ошибка в вычислениях.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *