В этой статье мы разберем решение такой задачи: В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и
Рассмотрим чертеж задачи:
Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно, для начала, через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой. В нашем случае для этого прийдется сделать дополнительное построение:
Мы получили призму, в основании которой лежит ромб со стороной, равной 1 и углом 60°.
Теперь в плоскости грани проведем прямую параллельно прямой ,
и через эту прямую проведем плоскость , которая будет параллельна прямой :
Расстояние между прямыми и равно расстоянию от любой точки прямой до плоскости .
Будем искать расстояние от точки С до плоскости . Для этого проведем плоскость , перпендикулярно плоскости (, так как диагонали ромба перпендикулярны, , так как призма правильная):
- линия пересечения плоскости и плоскости .
Рассмотрим треугольник . Нам нужно найти расстояние от точки С до прямой , то есть высоту треугольника, проведенную из вершины С:
(из треугольника ), (из треугольника ), (из треугольника ):
Дальше поступим так:
1. Найдем cos C по теореме косинусов.
2. Найдем sin C через основное тригонометрическое тождество.
3. Найдем площадь треугольника по формуле .
4. Из площади выразим высоту, опущенную на основание - это и есть искомое расстояние.
1.
2.
3.
4.
Ответ:
Замечание: призму можно было достроить "вверх". Попробуйте это решение самостоятельно.
Есть же простое решение методом объёмов! Гораздо короче и понятней.