Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Расстояние между скрещивающимися прямыми-2. Задание С2

В этой статье мы  разберем решение такой задачи: В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и A_1C

Рассмотрим чертеж задачи:

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно, для начала, через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой. В нашем случае для этого прийдется  сделать дополнительное построение:

Мы получили призму, в основании которой  лежит ромб со стороной, равной 1 и углом 60°.

Теперь в плоскости грани DBB_1 проведем прямую D_1B  параллельно прямой A_1C,

и через эту прямую проведем плоскость ABD_1, которая будет параллельна прямой A_1C:

Расстояние между прямыми AB и A_1C равно расстоянию от любой точки прямой A_1C до плоскости AB D_1.

Будем искать расстояние от точки С  до плоскости AB D_1. Для этого проведем плоскость DCC_1, перпендикулярно плоскости AB D_1 (AB{ortho}DC, так как диагонали ромба перпендикулярны, AB{ortho}DD_1, так как призма правильная):

KD_1 - линия пересечения плоскости AB D_1 и плоскости DCC_1.

Рассмотрим треугольник D_1KC. Нам нужно найти расстояние от точки С до прямой D_1K, то есть высоту треугольника, проведенную из вершины С:

KC=sqrt{3}/2 (из треугольника KBC), D_1K=sqrt{7}/2 (из треугольника DD_1K), D_1C=2 (из треугольника D_1CC_1):

 

Дальше поступим так:

1. Найдем cos C по теореме косинусов.

2. Найдем sin C через основное тригонометрическое тождество.

3. Найдем площадь треугольника D_1KC по формуле S={1/2}{ab}sin{gamma}.

4. Из площади выразим высоту, опущенную на основание D_1K - это и есть искомое расстояние.

1. cos{C}={4+3/4-7/4}/{2sqrt{3}/2{2}}=sqrt{3}/2

2. sin{C}=1/2

3.  S_{D_1KC}={1/2}2sqrt{3}/2{1/2}=sqrt{3}/4

4. {1/2}sqrt{7}/2{H}=sqrt{3}/4 

H={sqrt{3}/sqrt{7}}=sqrt{21}/7

Ответ: sqrt{21}/7

Замечание: призму можно было достроить "вверх". Попробуйте это решение самостоятельно.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Расстояние между скрещивающимися прямыми-2. Задание С2

Отзывов (14)

  1. Нина

    Есть же простое решение методом объёмов! Гораздо короче и понятней.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *