Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
Для этого мы следуем известному алгоритму:
1. Находим ОДЗ функции.
2. Находим производную функции
3. Приравниваем производную к нулю
4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
Если на промежутке I производная функции , то функция возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.
5. Находим точки максимума и минимума функции.
В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-".
В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+".
6. Находим значение функции в концах отрезка,
- затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
- или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:
В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.
1. Рассмотрим функцию на отрезке
Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: , а наименьшее - в левом: .
2. Рассмотрим функцию на отрезке
Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума , а наименьшее - в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения и и выбрать из них наименьшее.
3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке , то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть и .
Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, то есть и .
Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:
1. ОДЗ функции - множество действительных чисел.
2.
3. , если или
Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание - убывание, можно схематично изобразить ее график:
Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике
1. Задание B15 (№ 26695)
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
1. Функция определена при всех действительных значениях х
2.
3.
Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.
y(0)=5
Ответ: 5.
2. Задание B15 (№ 26702)
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [].
1. ОДЗ функции
2.
Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:
, следовательно, , значит, , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .
Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:
у(0)=5
Ответ: 5.
3. Задание B15 (№ 26708)
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [].
1. ОДЗ функции :
2.
3.
,
Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.
Промежутку принадлежат два числа: и
Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки и производная меняет знак.
Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:
Очевидно, что точка является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .
Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции
Ответ: -1
Спасибо! прекрасный урок!!!!!
Здравствуйте,а как быть,если после приравнивания к нулю мы получаем уравнение,из дискриминанта которого не выносится корень? Ведь иррациональный корень не записать в бланк ответов, округлить тоже нельзя.
Скорее всего производную неправильно нашла..
Я уверена в том,что правильно это сделала.)
Попробуй по теореме Виета
здравствуйте всем! Можете ли вы написать решение функции которая дается для проверки? y=72x-36tgx-70+18п
см. здесь: //ege-ok.ru/2012/05/20/nahozhdenie-naibolshego-i-naimenshego-znacheniya-funktsii-na-otrezke-zadanie-v14/#more-4189
пример 3
Здравствуйте, объясните, пожалуйста, почему в примере №2 производная при переходе через точки знак не меняет, а в примере №3 меняет. Как это определить, ведь в обоих случаях косинус стоит в квадрате, значит, знак не должен меняться. Спасибо.
Посмотрите, я дописала пояснение. Смена знака зависит не только от того, в какой степени косинус.
Хороший урок
Благодарю за шикарный разбор!!!