Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Косинус угла между прямыми по клеточкам.

Натолкнулась в Открытом банке заданий по математике на задачу, которую в прошлом году не встречала:

Задание B7 (№ 27458)  из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на 2sqrt{2}:

Давайте сделаем дополнительное построение:

 

Величина угла АОВ равна сумме углов alpha и beta:

Примем размер клетки равным 1, и  найдем длину ОВ из треугольника ОВС и длину АО из треугольника АОС:

OB=sqrt{1+2^2}=sqrt{5}

AO=sqrt{1+3^2}=sqrt{10}:

 

По формуле для косинуса суммы имеем:

cos({alpha}+{beta})=cos{alpha}cos{beta}-sin{alpha}sin{beta}

Вспомним соотношения для сторон и углов в прямоугольном треугольнике:

косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;

синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Тогда из треугольника ВОС:

cos{alpha}=1/{sqrt{5}}

sin{alpha}=2/{sqrt{5}}

Из треугольника АОС:

cos{beta}=1/{sqrt{10}}

sin{beta}=3/{sqrt{10}}

Подставим эти значения в формулу для косинуса суммы:

cosAOB={1/{sqrt{5}}}{1/{sqrt{10}}}-{2/{sqrt{5}}}{3/{sqrt{10}}}=-5/{sqrt{50}}=-5/{5sqrt{2}}=-1/{sqrt{2}}

В ответе запишем значение косинуса, умноженное на 2sqrt{2}:

(-1/{sqrt{2}})(2sqrt{2})=-2

Ответ: -2

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В"

 

Косинус угла между прямыми по клеточкам.

Отзывов (7)

  1. ella

    Здорово!!! для меня это ново!!! Спасибо за замечательное решение! Конечно, можно было использовать теорему косинусов!?

    • Инна

      Можно было. Но мне что-то теорема косинусов в голову не пришла 🙂

  2. anna

    а зачем в конце на ,,2 корень из 2,, умножать?

    • Инна

      Прежде чем записать ответ, еще раз внимательно читаем вопрос задачи — очень полезно правило. Перечитайте условие.

      • Станислав

        Правильно Инна, я своим ученикам также говорю, перечитывайте внимательно задание и правильно делайте построение и это обеспечит правильное решение в геометрии на 95%! Skype:mexanikm

  3. Никита

    Похожее задание придумал себе 5 часов назад , абсурд в том что я случайно натолкнулся на эту статью .

    • Инна

      Случайностей не бывает)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *