Как по графику квадратичной функции определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена

В этой статье я расскажу, как по графику квадратичной функции найти знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

Чтобы определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена по графику квадратичной функции y=ax^2+bx+c, нужно вспомнить теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Квадратное уравнение называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице.

Чтобы уравнение  ax^2+bx+c=0 стало приведенным, нужно обе части уравнения разделить на старший коэффициент. Получим приведенное уравнение x^2+{b/a}x+{c/a}=0. Для него справедливы соотношения:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-b/a} {x_1*x_2=c/a} }}{ }

И эти же соотношения справедливы для уравнения  ax^2+bx+c=0

По графику квадратичной функции мы легко можем определить знак коэффициента  a - если ветви параболы направлены вверх, то a>0,  а если вниз, то a<0.

Также по графику легко определяются знаки корней (корни квадратного трехчлена   ax^2+bx+c - это абсциссы точек пересечения графика функции  y=ax^2+bx+c с осью абсцисс), а также знак корня с большим модулем.

Если оба корня положительны, то x_1+x_2=-b/a>0.

Если оба корня отрицательны, то x_1+x_2=-b/a<0.

Если корень с большим модулем положителен, то x_1+x_2=-b/a>0.

Если корень с большим модулем отрицателен, то x_1+x_2=-b/a<0.

Если корни имеют одинаковые знаки, то x_1*x_2=c/a>0.

Если корни имеют разные знаки, то x_1*x_2=c/a<0.

Во всех случаях, определив знак коэффициента a по направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки коэффициентов b и c

Рассмотрим примеры.

1. Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена ax^2+bx+c, если график функции  y=ax^2+bx+c имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, a<0.

2. Корни имеют одинаковые знаки, следовательно, их произведение положительно: x_1*x_2=c/a>0. Так как a<0, следовательно, c<0.

3. Оба корня отрицательны, следовательно,   их сумма отрицательна: x_1+x_2=-b/a<0. Так как a<0, следовательно, b<0.

Ответ: a<0, b<0, c<0.

 

2. Определить знаки коэффициентов  квадратного трехчлена ax^2+bx+c, если график функции  y=ax^2+bx+c имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, a>0.

2. Корни имеют разные  знаки, следовательно, их произведение отрицательно: x_1*x_2=c/a<0. Так как a>0, следовательно, c<0.

3. Корень с большим модулем положителен, следовательно,  сумма корней положительна: x_1+x_2=-b/a>0. Так как a>0, следовательно, b<0.

Ответ: a>0, b<0, c<0.

Замечание: c - ордината точки пересечения параболы с осью OY, поэтому знак cможно определить сразу.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов (38)

  1. сергей хегай

    а если парабола не пересекает ох как найти х

    Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *