Как по графику квадратичной функции определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена


В этой статье я расскажу, как по графику квадратичной функции найти знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

Чтобы определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена по графику квадратичной функции y=ax^2+bx+c, нужно вспомнить теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.


Квадратное уравнение называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице.

Чтобы уравнение  ax^2+bx+c=0 стало приведенным, нужно обе части уравнения разделить на старший коэффициент. Получим приведенное уравнение x^2+{b/a}x+{c/a}=0. Для него справедливы соотношения:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-b/a} {x_1*x_2=c/a} }}{ }

И эти же соотношения справедливы для уравнения  ax^2+bx+c=0

По графику квадратичной функции мы легко можем определить знак коэффициента  aесли ветви параболы направлены вверх, то a>0″ title=»a>0″/><img src=,  а если вниз, то a<0.

Также по графику легко определяются знаки корней (корни квадратного трехчлена   ax^2+bx+c – это абсциссы точек пересечения графика функции  y=ax^2+bx+c с осью абсцисс), а также знак корня с большим модулем.

Если оба корня положительны, то x_1+x_2=-b/a>0″ title=»x_1+x_2=-b/a>0″/><img src=.

Если оба корня отрицательны, то x_1+x_2=-b/a<0.

Если корень с большим модулем положителен, то x_1+x_2=-b/a>0″ title=»x_1+x_2=-b/a>0″/><img src=.

Если корень с большим модулем отрицателен, то x_1+x_2=-b/a<0.

Если корни имеют одинаковые знаки, то x_1*x_2=c/a>0″ title=»x_1*x_2=c/a>0″/><img src=.

Если корни имеют разные знаки, то x_1*x_2=c/a<0.

Во всех случаях, определив знак коэффициента a по направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки коэффициентов b и c

Рассмотрим примеры.

1. Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена ax^2+bx+c, если график функции  y=ax^2+bx+c имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, a<0.

2. Корни имеют одинаковые знаки, следовательно, их произведение положительно: x_1*x_2=c/a>0″ title=»x_1*x_2=c/a>0″/><img src=. Так как a<0, следовательно, c<0.

3. Оба корня отрицательны, следовательно,   их сумма отрицательна: x_1+x_2=-b/a<0. Так как a<0, следовательно, b<0.

Ответ: a<0, b<0, c<0.

 

2. Определить знаки коэффициентов  квадратного трехчлена ax^2+bx+c, если график функции  y=ax^2+bx+c имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, a>0″ title=»a>0″/><img src=.

2. Корни имеют разные  знаки, следовательно, их произведение отрицательно: x_1*x_2=c/a<0. Так как a>0″ title=»a>0″/><img src=, следовательно, c<0.

3. Корень с большим модулем положителен, следовательно,  сумма корней положительна: x_1+x_2=-b/a>0″ title=»x_1+x_2=-b/a>0″/><img src=. Так как a>0″ title=»a>0″/><img src=, следовательно, b<0.

Ответ: a>0″ title=»a>0″/><img src=, b<0, c<0.

Замечание: c – ордината точки пересечения параболы с осью OY, поэтому знак cможно определить сразу.

 

Другие записи из категории "ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ":

Отзывов (28)

  1. Валерий Петрович:

    Приведённый выше материал достоин внимания школьников, да и не только их. Желательно расширить его хотя бы немного усложнив, не оглядываясь на уровень сложности конкретной рубрики ЕГЭ. От этого будет большая польза – ведь у всех выпускников впереди и группа «С», а у некоторых и дополнительный экзамен при поступлении. С Новым годом! И успехов всем заинтересованным в математике.

  2. Вера:

    Почему оба корня отрицательны?

  3. Илья:

    Большое спасибо! Задание выставить знаки коэффициентов реально поставило в тупик, а оказалось, что теоремой Виета все так просто решается, хотя сам учил эту теорему.

  4. Оксана:

    Здравствуйте. Ну вот по графику зная знаки корней, определили знаки коэффициентов. А вот если уравнение не имеет корней. Как быть? Ну знак коэффициента А я найду, а вот как С найти? У нас на пробном ГИА было такое задание…

    • Инна:

      Координаты вершины параболы: x0=-b/2a – зная знак а, определяем знак b. Если ветви направлены вверх и вся парабола выше оси ОХ, то с больше нуля – в противном случае были бы корни. Аналогично, если парабола ниже оси ОХ, то с меньше нуля.

  5. Петя:

    А как найти значение старшего коэффициента по графику?

  6. Alyona:

    Буду благодарна, если поможете решить следующее задание.
    f(x)пересекает g(x)=(3,4)
    f(x)=x^2+mx+n. m=?
    Я подставила значение х и у в формулу соответсвенно. Получила следующее уравнение.
    4=3^2+3m+n.Преобразовала 3m+n=-5. Как решать такое уравнение?
    Заранее спасибо за ответ.

    • Инна:

      Есть еще какие-нибудь условия?

      • Alyona:

        Дан график, где g(x)- это прямая (при х=3, у=4, т.е. формула должна быть g(x)=x+1), f(x)= x^2+mx+n – парабола, причем она не пересекает ось ОХ. Варианты ответов -4, – 14\3, -11\2, -23\4, -6.

        • Инна:

          Мне нужен оригинальный текст задачи: прямая не определяется одной точкой

          • Alyona:

            Спасибо. Есть такой интересный пример. Поможете?
            f(x)=2x^2+1
            g(x)=x\2
            fog^-1(2)=?

  7. Ksenia:

    Спасибо большое за подробные объяснения! Только объясните,пожалуйста, как определять знак b, если а<0, один корень отрицательный, а другой-положительный?

    • Инна:

      При сложении чисел с разными знаками ставим знак большего модуля. Если корень с большим модулем положителен, то b меньше нуля. И наоборот.

  8. Александра:

    Постройте , пожалуйста, функции у=√-|х| и у=√|-х|. Объясните,как нужно строить.

  9. Виктория:

    Здравствуйте! Как узнать куда направление ветви параболы в уравнение (х-3,5)(х+0.25) >0 и как решить это уравнение?

      • Виктория:

        Спасибо, но в том то и дела, что мы ешё такого не изучали.file:///C:/Documents%20and%20Settings/Lanos/%D0%A0%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%87%D0%B8%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB/P1060175.JPG вот способ, которым надо развязывать.

        • Виктория:

          Неравность – -х(в квадрате) +5х-6 меньше или равно 0
          домножим на -1 и получим х(в квадрате) -5х+6 больше или равно 0

          х(квадрат)-5х+6больше или равно 0 х(квадрат)-5х+6=0, х1=2 х2=3
          (х-2)(х-3)больше или равно 0 х(квадрат)-5х+6=(х-2)(х-3)

          Получаем системы

          (система) (система)
          х-2 больше или равно 0 х-2 меньше или равно 0
          х-3 больше или равно 0 х-3 меньше или равно 0

          х больше или равно 2 х меньше или равно 2
          х больше или равно 3 х меньше или равно 3
          х больше или равно 3, то есть х меньше или равно 2 , то
          х ( принадлежит) ( 3;бесконечность) есть х( принадлежит)
          -бесконечность ;2)

          Ответ х принадлежит ( -бесконечность ;2)( 3;бесконечность)

          Не пойму в некоторых примерах меняют знаки равенства и по какому принципу выбирают ответ? Спасибо за внимание.

  10. Виктория:

    Неравность – -х(в квадрате) +5х-6 меньше или равно 0
    домножим на -1 и получим х(в квадрате) -5х+6 больше или равно 0

    х(квадрат)-5х+6больше или равно 0 х(квадрат)-5х+6=0, х1=2 х2=3
    (х-2)(х-3)больше или равно 0 х(квадрат)-5х+6=(х-2)(х-3)

    Получаем системы

    (система) (система)
    х-2 больше или равно 0 х-2 меньше или равно 0
    х-3 больше или равно 0 х-3 меньше или равно 0

    х больше или равно 2 х меньше или равно 2
    х больше или равно 3 х меньше или равно 3
    х больше или равно 3, то есть х меньше или равно 2 , то
    х ( принадлежит) ( 3;бесконечность) есть х( принадлежит)
    -бесконечность ;2)

    Ответ х принадлежит ( -бесконечность ;2)( 3;бесконечность)

    Не пойму в некоторых примерах меняют знаки равенства и по какому принципу выбирают ответ? Спасибо за внимание.

  11. Татьяна:

    Спасибо. Хороший материал.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>