Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
09 Янв 2013
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

В этой статье я расскажу, как по графику квадратичной функции найти знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

Чтобы определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена по графику квадратичной функции y=ax^2+bx+c, нужно вспомнить теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Квадратное уравнение называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице.

Чтобы уравнение  ax^2+bx+c=0 стало приведенным, нужно обе части уравнения разделить на старший коэффициент. Получим приведенное уравнение x^2+{b/a}x+{c/a}=0. Для него справедливы соотношения:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-b/a} {x_1*x_2=c/a} }}{ }

И эти же соотношения справедливы для уравнения  ax^2+bx+c=0

По графику квадратичной функции мы легко можем определить знак коэффициента  a - если ветви параболы направлены вверх, то a>0,  а если вниз, то a<0.

Также по графику легко определяются знаки корней (корни квадратного трехчлена   ax^2+bx+c - это абсциссы точек пересечения графика функции  y=ax^2+bx+c с осью абсцисс), а также знак корня с большим модулем.

Если оба корня положительны, то x_1+x_2=-b/a>0.

Если оба корня отрицательны, то x_1+x_2=-b/a<0.

Если корень с большим модулем положителен, то x_1+x_2=-b/a>0.

Если корень с большим модулем отрицателен, то x_1+x_2=-b/a<0.

Если корни имеют одинаковые знаки, то x_1*x_2=c/a>0.

Если корни имеют разные знаки, то x_1*x_2=c/a<0.

Во всех случаях, определив знак коэффициента a по направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки коэффициентов b и c

Рассмотрим примеры.

1. Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена ax^2+bx+c, если график функции  y=ax^2+bx+c имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, a<0.

2. Корни имеют одинаковые знаки, следовательно, их произведение положительно: x_1*x_2=c/a>0. Так как a<0, следовательно, c<0.

3. Оба корня отрицательны, следовательно,   их сумма отрицательна: x_1+x_2=-b/a<0. Так как a<0, следовательно, b<0.

Ответ: a<0, b<0, c<0.

 

2. Определить знаки коэффициентов  квадратного трехчлена ax^2+bx+c, если график функции  y=ax^2+bx+c имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, a>0.

2. Корни имеют разные  знаки, следовательно, их произведение отрицательно: x_1*x_2=c/a<0. Так как a>0, следовательно, c<0.

3. Корень с большим модулем положителен, следовательно,  сумма корней положительна: x_1+x_2=-b/a>0. Так как a>0, следовательно, b<0.

Ответ: a>0, b<0, c<0.

Замечание: c - ордината точки пересечения параболы с осью OY, поэтому знак cможно определить сразу.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена
| Отзывов (39)

Отзывов (39)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Александра
    в 08:21

    Постройте , пожалуйста, функции у=√-|х| и у=√|-х|. Объясните,как нужно строить.
    Ответить
    • Инна
      в 09:22

      График первой функции — одна точка (0;0) — при остальных значениях х функция не определена. График второй у=√|х|
      Построение см здесь: //ege-ok.ru/2012/04/06/preobrazovanie-grafikov-funktsiy/
      Преобразование f(x) -> f(|x|)
      Ответить
  2. Виктория
    в 15:27

    Здравствуйте! Как узнать куда направление ветви параболы в уравнение (х-3,5)(х+0.25) >0 и как решить это уравнение?
    Ответить
    • Инна
      • Виктория
        в 16:50

        Спасибо, но в том то и дела, что мы ешё такого не изучали.file:///C:/Documents%20and%20Settings/Lanos/%D0%A0%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%87%D0%B8%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB/P1060175.JPG вот способ, которым надо развязывать.
        Ответить
        • Виктория
          в 17:14

          Неравность — -х(в квадрате) +5х-6 меньше или равно 0
          домножим на -1 и получим х(в квадрате) -5х+6 больше или равно 0

          х(квадрат)-5х+6больше или равно 0 х(квадрат)-5х+6=0, х1=2 х2=3
          (х-2)(х-3)больше или равно 0 х(квадрат)-5х+6=(х-2)(х-3)

          Получаем системы

          (система) (система)
          х-2 больше или равно 0 х-2 меньше или равно 0
          х-3 больше или равно 0 х-3 меньше или равно 0

          х больше или равно 2 х меньше или равно 2
          х больше или равно 3 х меньше или равно 3
          х больше или равно 3, то есть х меньше или равно 2 , то
          х ( принадлежит) ( 3;бесконечность) есть х( принадлежит)
          -бесконечность ;2)

          Ответ х принадлежит ( -бесконечность ;2)( 3;бесконечность)

          Не пойму в некоторых примерах меняют знаки равенства и по какому принципу выбирают ответ? Спасибо за внимание.
          Ответить
  3. Виктория
    в 16:46

    Неравность – -х(в квадрате) +5х-6 меньше или равно 0
    домножим на -1 и получим х(в квадрате) -5х+6 больше или равно 0

    х(квадрат)-5х+6больше или равно 0 х(квадрат)-5х+6=0, х1=2 х2=3
    (х-2)(х-3)больше или равно 0 х(квадрат)-5х+6=(х-2)(х-3)

    Получаем системы

    (система) (система)
    х-2 больше или равно 0 х-2 меньше или равно 0
    х-3 больше или равно 0 х-3 меньше или равно 0

    х больше или равно 2 х меньше или равно 2
    х больше или равно 3 х меньше или равно 3
    х больше или равно 3, то есть х меньше или равно 2 , то
    х ( принадлежит) ( 3;бесконечность) есть х( принадлежит)
    -бесконечность ;2)

    Ответ х принадлежит ( -бесконечность ;2)( 3;бесконечность)

    Не пойму в некоторых примерах меняют знаки равенства и по какому принципу выбирают ответ? Спасибо за внимание.
    Ответить
  4. Татьяна
    в 08:12

    Спасибо. Хороший материал.
    Ответить
  5. ирина
    в 06:04

    Помогите пожалуйста
    найти точку пересечения параболы y=4x-x^2 с осью ОУ в точке x_0=3
    Ответить
    • Инна
      в 08:25

      Парабола пересекает ось ОУ в точке с абсциссой х=0
      Ответить
  6. Надежда
    в 15:47

    Здравствуйте, у меня возник вопрос с заданием:По графику функции у=ах2+bх+с опр знаки коэфициентов а,bс.Для этого не обязятельно что бы было показаны точки соприкосновения графика? Просто у меня в учебнике не пропечатаны они.
    Ответить
    • Инна
      в 06:25

      Не обязательно.
      Ответить
      • Лиза
        в 10:39

        Здравствуйте,можете ли вы мне помочь с графиком,как решить уравнение графическим способом sqrt(x)-5x+6=0
        корни у меня х1=4,х2=9 правильно ли?
        Ответить
        • Инна
          в 15:02

          Чтобы проверить, правильно ли найдены корни, надо их подставить в уравнение и проверить, получится ли верное равенство.
          Графическое решение выглядит так (если я правильно поняла уравнение): http://pastenow.ru/ACL4
          Ответить
  7. Диана
    в 09:09

    Спасибо,очень понятная статья.Готовлюсь к ОГЭ,помогли вспомнить тему.
    Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *