Задачи на первообразную, которых ждали, появились в Открытом банке заданий для подготовки к ЕГЭ по математике Давайте и мы вспомним теорию и рассмотрим решение задач по этой теме.
Функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке , если для любого из этого промежутка выполняется равенство .
Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием. Интегрирование - математическое действие, обратное дифференцированию, то есть нахождению производной. Интегрирование позволяет по производной функции найти саму функцию.
Множество всех первообразных называют неопределенным интегралом от функции и обозначают
∫
Рассмотрим пример решения задачи из Задания В8 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
Прототип задания B8 (№ 323077)
На рисунке изображён график функции , одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке .
Поскольку - первообразная функции - это функция, производная которой равна : - исходную задачу можно переформулировать так: по графику функции найти количество точек, принадлежащих отрезку , в которых производная функции равна нулю.
Как мы знаем, производная равна нулю в точках экстремума. (Замечу, что обратно неверно - если производная равна нулю, то это не обязательно тока экстремума.)
Отметим на рисунке сам отрезок и точки экстремума на графике функции:
Точки экстремума ("холмики" и "впадинки") выделены красным цветом. На отрезке их 10.
Ответ: 10.
Уважаемый Автор, высказывание «Как мы знаем, производная равна нулю в точках экстремума» может вести в заблуждение юные, не очень подготовленные готовы. Как Вы, безусловно, знаете y=x*x*x ( икс в кубе) имеет нулевую производную в точке перегиба и наоборот, можно образовать функцию, имеющую, например минимум (корень квадратный из модуль икс), но не имеющую производную при х=0. Заметьте, пож., что я не утверждаю, что Ваша фраза неверна. Но такие неточности вряд ли уместны (ИМХО). С неизменным Уважением, Михаил.
Михаил, большое спасибо за Ваше замечание, однако я с Вами поспорю. Если точка х является точкой экстремума и производная в ней существует, то она равна нулю в этой точке. Да, согласна, обратное неверно: если производная равна нулю в точке х, то не факт, что это точка экстремума — Ваш пример. Так что я не вижу ошибки в своем высказывании.
Здравствуйте, Инна. Спасибо за развёрнутый коммент. Занудно вернусь к сути. Приведённая Вами «вторая» формулировка (Если точка х является точкой экстремума и производная в ней существует, то она равна нулю в этой точке), согласитесь, отличается от первоначальной, начиная с союза «и». Просто по моей практике и в некоторых некорректных задачах ЕГЭ такие вещи запутывают школьников, которые (наверное, просто в силу своего возраста) все эти «штучки» с производными воспринимают как набор правил. Те, кто по-умнее/по-взрослее понимают, что надо просто сыграть в эту игру по таким-то правилам. Вот и всё. Собственно то же самое Вы точно описали после определения предела функции. Т.о. полагаю, что предмета спора нет («я с Вами поспорю»), так, методические уточнения…
С неизменным Уважением,
Михаил
Михаил, спасибо Вам огромное за Ваше замечание и внимательно чтение. Думаю, что Вы не первый, у кого возникло замечание такого рода, поэтому поясню свою позицию. Я стараюсь найти золотую середину между простотой объяснения и необходимым уровнем строгости — разумеется, это не всегда получается. В основном я ориентируюсь на уровень сложности задачи — как объяснить так, чтобы максимальное количество школьников смогли ее решить, понимая, что они делают. Более сложные задачи, конечно, требуют более глубокого понимания теории.
Но я могу и откровенно накосячить. Так что «на Аллаха надейся, а верблюда привязывай». Это я к тому, чтобы читатели не теряли бдительность.
Вообще всегда удивляли эти задания. «определите количество решений уравнени» и указан нестрогий промежуток. Вообщем-то, в точках -2 и 4, функция определена и производная в этих точках равна нулю. Вот если бы было сказано «на интервале», а не «на отрезке», тогда да, эти точки не подходили бы нам. А получается — нестрогость, но к ответу не подходит.
«Вообщем-то», блин…
Инна владимировна,если возможно-не могу найти интеграл:dxделенный на х-корень квадратныйх*2-1.Заранее спасибо
Нужно в выражении числитель и знаменатель умножить на на сопряженное выражение и потом все получится
Инна Владимировна,здравствуйте.При нахождении интеграла корень из х квадрат минус 1-надо ли вводить замену на тригонометрическую переменную? За все спасибо.
Может быть так:http://prntscr.com/9aa5n4 ?
эта же формулаhttp://prntscr.com/9aa77c
Инна Владимировна,возможно студент ошибся и в знаменателе поризведение, а не разность.