Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Первообразная.

Задачи на первообразную, которых ждали, появились в Открытом банке заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике  Давайте и мы вспомним теорию и рассмотрим решение задач по этой теме.

Функцию y=F(x) называют первообразной для функции y=f(x) на заданном промежутке X, если для любого x из этого промежутка выполняется равенство F{prime}(x)=f(x).

Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием.  Интегрирование - математическое действие, обратное дифференцированию, то есть нахождению производной. Интегрирование позволяет по производной функции найти саму функцию.

Множество всех первообразных называют неопределенным интегралом от функции y=f(x) и обозначают

{f(x)dx}=F(x)+C

Рассмотрим пример решения задачи из  Задания В8 из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

Прототип задания B8 (№ 323077)

На рисунке изображён график функции y=F(x), одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-3;5) . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравненияf(x)=0  на отрезке [-2;4].

Поскольку F(x) - первообразная функции f(x) - это функция, производная которой равна f(x):F{prime}(x)=f(x) - исходную задачу можно переформулировать так: по графику функции найти количество точек, принадлежащих отрезку [-2;4], в которых производная функции равна нулю.

Как мы знаем, производная равна нулю в точках экстремума. (Замечу, что обратно неверно - если производная равна нулю, то это не обязательно тока экстремума.)

Отметим на рисунке сам отрезок и точки экстремума на графике функции:

 

Точки экстремума ("холмики" и "впадинки") выделены красным цветом. На отрезке [-2;4] их 10.

Ответ: 10.

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Первообразная.

Отзывов (12)

  1. Mikel

    Уважаемый Автор, высказывание «Как мы знаем, производная равна нулю в точках экстремума» может вести в заблуждение юные, не очень подготовленные готовы. Как Вы, безусловно, знаете y=x*x*x ( икс в кубе) имеет нулевую производную в точке перегиба и наоборот, можно образовать функцию, имеющую, например минимум (корень квадратный из модуль икс), но не имеющую производную при х=0. Заметьте, пож., что я не утверждаю, что Ваша фраза неверна. Но такие неточности вряд ли уместны (ИМХО). С неизменным Уважением, Михаил.

    • Инна

      Михаил, большое спасибо за Ваше замечание, однако я с Вами поспорю. Если точка х является точкой экстремума и производная в ней существует, то она равна нулю в этой точке. Да, согласна, обратное неверно: если производная равна нулю в точке х, то не факт, что это точка экстремума — Ваш пример. Так что я не вижу ошибки в своем высказывании.

      • Mikel

        Здравствуйте, Инна. Спасибо за развёрнутый коммент. Занудно вернусь к сути. Приведённая Вами «вторая» формулировка (Если точка х является точкой экстремума и производная в ней существует, то она равна нулю в этой точке), согласитесь, отличается от первоначальной, начиная с союза «и». Просто по моей практике и в некоторых некорректных задачах ЕГЭ такие вещи запутывают школьников, которые (наверное, просто в силу своего возраста) все эти «штучки» с производными воспринимают как набор правил. Те, кто по-умнее/по-взрослее понимают, что надо просто сыграть в эту игру по таким-то правилам. Вот и всё. Собственно то же самое Вы точно описали после определения предела функции. Т.о. полагаю, что предмета спора нет («я с Вами поспорю»), так, методические уточнения…
        С неизменным Уважением,
        Михаил

        • Инна

          Михаил, спасибо Вам огромное за Ваше замечание и внимательно чтение. Думаю, что Вы не первый, у кого возникло замечание такого рода, поэтому поясню свою позицию. Я стараюсь найти золотую середину между простотой объяснения и необходимым уровнем строгости — разумеется, это не всегда получается. В основном я ориентируюсь на уровень сложности задачи — как объяснить так, чтобы максимальное количество школьников смогли ее решить, понимая, что они делают. Более сложные задачи, конечно, требуют более глубокого понимания теории.
          Но я могу и откровенно накосячить. Так что «на Аллаха надейся, а верблюда привязывай». Это я к тому, чтобы читатели не теряли бдительность.

  2. username

    Вообще всегда удивляли эти задания. «определите количество решений уравнени» и указан нестрогий промежуток. Вообщем-то, в точках -2 и 4, функция определена и производная в этих точках равна нулю. Вот если бы было сказано «на интервале», а не «на отрезке», тогда да, эти точки не подходили бы нам. А получается — нестрогость, но к ответу не подходит.

    • Арт

      «Вообщем-то», блин…

  3. владимир

    Инна владимировна,если возможно-не могу найти интеграл:dxделенный на х-корень квадратныйх*2-1.Заранее спасибо

    • Инна

      Нужно в выражении числитель и знаменатель умножить на на сопряженное выражение и потом все получится

      • владимир

        Инна Владимировна,здравствуйте.При нахождении интеграла корень из х квадрат минус 1-надо ли вводить замену на тригонометрическую переменную? За все спасибо.

  4. владимир

    Инна Владимировна,возможно студент ошибся и в знаменателе поризведение, а не разность.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *