В этой статье мы будем учиться решать задачи на нахождение площади криволинейной трапеции.
Как всегда, начнем с теории. Как вы помните, неопределенный интеграл от функции - это множество всех первообразных :
∫
В неопределенном интеграле не заданы границы интегрирования, и в результате нахождения неопределенного интеграла от функции мы получаем множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину С.
Если заданы границы интегрирования, то мы получаем определенный интеграл:
Здесь число - нижний предел интегрирования, число - верхний предел интегрирования. Определенный интеграл - это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:
.
- это значение первообразной функции в точке , и, соответственно, - это значение первообразной функции в точке .
Для нас с точки зрения решения задач важное значение имеет геометрический смысл определенного интеграла.
Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке:
Зеленая фигура, ограниченая сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ называется криволинейной трапецией.
Геометрический смысл определенного интеграла:
Определенный интеграл - это число, равное площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченой сверху графиком положительной на отрезке функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.
Решим задачу из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.
Прототип Задания 7 (№ 323080)
На рисунке изображён график некоторой функции . Функция — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.
Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.
Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
, где - первообразная функции .
По условию задачи , поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.
Замечу, что в этих задачах очень часто возникают ошибки именно в вычислениях, поэтому советую аккуратно и подробно их записывать, и ничего не считать "в уме".
=
=
Ответ: 4
Посмотрите небольшую видеолекцию, в которой решены все типы задач на первообразную:
В формуле Ньютона-Лейбница правильно F(b)- F(a).
Конечно, опечатка.
Исправьте, пожалуйста в формуле Ньютона- Лейбница
Спасибо.
Странноватое задание. Интегралы без вычисления самих интегралов. Какой же тогда в нем смысл
Смысл не в вычислениях, а в понимании смысла. На мой взгляд, это очень красивое задание.
Помогите пожалуйста разобраться с неопределенным интегралом
int наверху 1 внизу 0 (e^(x^3)*x^5)dx
То есть с определенным интегралом
посмотрите здесьhttp://mathprofi.ru/integrirovanie_po_chastyam.html