Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
17 Фев 2013
13 Задание (2022) (C2)

Как найти расстояние от точки до прямой с помощью метода координат

Долгое время я предпочитала решать задачи на нахождение расстояния от точки до прямой геометрическим способом, поскольку использование метода координат мне казалось очень нерациональным. Но наконец-то я поняла, как изящно, без построения перпендикулярной плоскости решать эту задачу.

Поясню общий ход решения на примере вспомогательной задачи, а потом решим реальную задачу из ЕГЭ по математике.

Вспомогательная задача:

В произвольном треугольнике ABC, заданном координатами своих вершин, найти расстояние от точки B до прямой, содержащей сторону AC.

Расстояние от точки B до стороны AC  - это длина перпендикуляра, опущенного из точки B  на прямую, содержащую сторону AC, то есть высоты BD.

Пусть вершины треугольника имеют координаты:

A(x_a;y_a;z_a)

B(x_b;y_b;z_b)

C(x_c;y_c;z_c)

1. Найдем косинус угла между прямыми, содержащими стороныAB и AC. Напомню, что углом между двумя  пересекающимися прямыми называется меньший из двух углов, образованных этими прямыми.  

Для этого найдем координаты векторов vec{AB} и vec{AC} по координатам их концов. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала.

vec{AB}(x_b-x_a; y_b-y_a; z_b-z_a)

vec{AC}(x_c-x_a; y_c-y_a; z_c-z_a)

Зная координаты векторов, можно найти косинус угла между векторами.

Косинус угла alphaмежду векторами равен отношению скалярного произведения векторов к произведению длин векторов.

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами прямых.

Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:

(vec{AB}vec{AC})=(x_b-x_a)(x_c-x_a)+(y_b-y_a)(y_c-y_a)+(z_b-z_a)(z_c-z_a)

Длина вектора vec{AB}:

delim{|}{vec{AB}}{|}=sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}

Длина вектора vec{AC}:

delim{|}{vec{AC}}{|}=sqrt{(x_c-x_a)^2+(y_c-y_a)^2+(z_c-z_a)^2}

cos{alpha}={delim{|}{(vec{AB}vec{AC})}{|}}/{delim{|}{vec{AB}}{|}delim{|}{vec{AC}}{|}}

2. Зная cos{alpha}, найдем sin{alpha}:

sin{alpha}=sqrt{1-cos^2{alpha}}

3. Теперь мы можем найти длину BD из прямоугольного  треугольника ABD:

BD=ABsin{alpha}=delim{|}{vec{AB}}{|}sin{alpha}

Если треугольник ABC имеет такой вид:

то cos{alpha}<0, но это ничего не меняет в наших планах. В этом случае мы будем искать длину BD из треугольника ABD. В этом случае угол BAD и будет углом между прямыми AB и AC

Решим задачу:

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 является ромб ABCD, сторона которого равна  4sqrt{3},  а угол BAD равен 60^{circ}. Найдите расстояние от точки A до прямой C_1D_1, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

План наших действий:

1. Введем систему координат.

2. Найдем координаты направляющих векторов прямых {AD_1} и {D_1C_1}.

3. Найдем косинус угла между прямыми {AD_1} и {D_1C_1}.

4. Найдем синус угла между прямыми {AD_1} и {D_1C_1}.

5. Найдем расстояние от точки A до прямой C_1D_1.

Вспомним свойства диагоналей ромба:

Диагонали ромба

  • взаимно перпендикулярны,
  • точкой пересечения делятся пополам
  • являются биссектрисами углов ромба.

Поместим начало система координат в точку пересечения диагоналей ромба, а оси  направим вдоль диагоналей:

Найдем длины отрезков  OC,  OD,  OA :

Рассмотрим треугольник  COD:

OD={CD}/2=2sqrt{3}  - как катет, лежащий против угла 30^{circ}

OC=CDcos{30^{circ}}={4sqrt{3}}*{{sqrt{3}}/2}=6

1. Найдем координаты точек A, D_1, C_1

A(0;-6;0)

D_1(2sqrt{3};0;8)

C_1(0;6;8)

2. Найдем координаты векторов vec{AD_1} и vec{D_1C_1}:

vec{AD_1}(2sqrt{3};6;8);

vec{D_1C_1}(-2sqrt{3};6;0)

3. Найдем длины векторов vec{AD_1}  и vec{D_1C_1}:

delim{|}{vec{AD_1}}{|}=sqrt{(2sqrt{3})^2+6^2+8^2}=sqrt{12+36+64}=sqrt{112}=4sqrt{7}

delim{|}{vec{D_1C_1}}{|}=sqrt{(-2sqrt{3})^2+6^2}=sqrt{12+36}=sqrt{48}=4sqrt{3}

4. Найдем модуль косинуса угла {AD_1C_1}. Нас интерсует абсолютное значение косинуса, поэтому направление направляющих векторов прямых {AD_1}  и {D_1C_1}не имеет значения. Найдем модуль косинуса угла между векторами vec{AD_1} и vec{D_1C_1}:

delim{|}{cos{AD_1C_1}}{|}=delim{|}{{{(vec{AD_1}vec{D_1C_1})}}/{delim{|}{vec{AD_1}}{|}*delim{|}{vec{D_1C_1}}{|}}}{|}=delim{|}{{(2sqrt{3})*(-2sqrt{3})+6*6}/{4sqrt{7}*4sqrt{3}}}{|}=24/{16sqrt{21}}=3/{2sqrt{21}}

5. Найдем синус угла {AD_1C_1}:

sin{AD_1C_1}=sqrt{1-(3/{2sqrt{21}})^2}=sqrt{75/84}=5/{2sqrt{7}}

6. Pасстояние от точки A до прямой C_1D_1 равно delim{|}{vec{AD_1}}{|}*sin{AD_1C_1}=4sqrt{7}*{5/{2sqrt{7}}}=10

Ответ: 10 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Как найти расстояние от точки до прямой с помощью метода координат
| Отзывов (15)

Отзывов (15)

← Предыдущие комментарии
  1. Лилия
    в 18:43

    Спасибо большое, Инна! Действительно, очень изящный способ.
    Ответить
← Предыдущие комментарии

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *