Классификация и способы решения задач из Задания 14
В этой статье мы "разложим по полочкам" задачи на нахождение расстояний и углов в пространстве с помощью метода координат. Шесть типов задач, две формулы, четкие алгоритмы решения задач каждого типа.
Итак.
Три типа задач на нахождение углов в пространстве.
I. Угол между прямыми и
Величиной угла между прямыми называется величина меньшего из углов, образованных этими прямыми.
Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых.
Пусть прямая проходит через точки и , а прямая через точки и
1. Находим координаты точек и , затем находим координаты вектора . Для этого из координат точки вычитаем координаты точки .
Вектор - направляющий вектор прямой
2. Находим координаты точек и , затем находим координаты вектора . Для этого из координат точки вычитаем координаты точки .
Вектор - направляющий вектор прямой
3. Пусть
Косинус угла между прямыми вычисляется по формуле:
Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между векторами нормалей к этим плоскостям.
Пусть плоскость задается точками , а плоскость точками
1. Находим координаты точек .
2. Находим уравнение плоскости . Для этого координаты точек подставляем в уравнение плоскости : . Получем систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, находим коэффициенты .
Коэффициенты в уравнении плоскости являются координатами вектора нормали к плоскости :
3. Находим координаты точек
4. Находим уравнение плоскости . Для этого координаты точек подставляем в уравнение плоскости :
Получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, находим коэффициенты .
Коэффициенты в уравнении плоскости являются координатами вектора нормали к плоскости :
5. Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле:
III Угол между прямой и плоскостью.
Зная координаты направляющего вектора прямой и вектора нормали к плоскости, мы можем найти косинус угла - угла между вектором нормали к плоскости. Но нам нужен угол .
Пусть нам нужно найти угол между прямой , проходящей через точки и плоскостью , проходящей через точки
1. Находим координаты точек .
2. Находим координаты вектора :
3. Находим координаты точек .
4. Находим уравнение плоскости . Для этого координаты точек подставляем в уравнение плоскости :
Получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, находим коэффициенты .
Коэффициенты в уравнении плоскости являются координатами вектора нормали к плоскости :
Косинус угла между вектором нормали к плоскости и направляющим вектором прямой равен
Синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу
Три типа задач на нахождение расстояний в пространстве.
IV. Расстояние от точки до плоскости.
Рассстояние от точки до плоскости вычисляется по такой формуле:
V. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Пусть нужно найти расстояние между прямыми и :
1. Проводим через любую точку прямой прямую параллельную прямой
2. Прямые и задают плоскость , которая параллельна прямой .
3. Находим расстояние от любой точки прямой до плоскости . Оно равно расстоянию между прямыми и .
Чтобы найти уравнение плоскости , берем три точки, одна из которых принадлежит прямой , а две другие прямой .
VI. Расстояние от точки до прямой.
Пусть нам надо найти расстояние от точки до прямой , которая определяется точками и :
1. Находим координаты вектора
2. Находим координаты вектора
3. Находим косинус угла между и .
4. Находим синус угла с помощью основного тригонометрического тождества.
5. Находим длину вектора :
6.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Спасибо за систематизацию
Спасибо! Очень полезная информация:)
Спасибо! Скажите пожалуйста, существует ли способ нахождения объема с помощью координат??
Да, это смешанное произведение векторов a,b,c
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Моё мнение что при решении задач с плоскостями , прямыми и точкой проще всего использовать метод координат и соответствующие формулы чем строить сложные рисунки потом доказывать их соответствие условиям задачи и затем высчитывать по формулам Единственная трудность правильно выбрать систему координат ….Как считаете вы???
Некоторые задачи проще решать без использования метода координат. Во всяком случае, на последних пробниках предлагают именно такие задачи.
Инна,здравствуйте. Посмотрела Вашу систематизированную подборку по методу координат.Действительно, хорошо. Но Вы правы, сейчас задачи подразумевают умение решать подобные задачи без коорд. метода. Очень бы хотелось познакомиться с методами решения эти задач, не используя коорд. метод. Спасибо.
Елена, в рубрике С2 большинство типовых задач решены двумя способами. Посмотрите в справочных материалах в разделе Стереометрия.