Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Классификация и способы решения задач из Задания 14

Классификация и способы решения задач из Задания 14

В этой статье мы "разложим по полочкам" задачи на нахождение расстояний и углов в пространстве с помощью метода координат. Шесть типов задач, две формулы, четкие алгоритмы решения  задач каждого типа.

Итак.

Три типа задач на нахождение углов в пространстве.

 

I. Угол между прямыми и b

Величиной угла между прямыми называется величина меньшего из углов, образованных этими прямыми.

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых.

Пусть прямая a проходит через точки A и B, а прямая b через точки C и D

1. Находим координаты точек A и B, затем находим координаты вектора vec{AB}. Для этого из координат точки B вычитаем координаты точки A.

Вектор vec{AB} - направляющий вектор прямой a

2. Находим координаты точек C и D, затем находим координаты вектора vec{CD}. Для этого из координат точки D вычитаем координаты точки C.

Вектор vec{CD} - направляющий вектор прямой b

3. Пусть vec{AB}(x_1;y_1;z_1)

vec{CD}(x_2;y_2;z_2)

Косинус угла между прямыми вычисляется по формуле:

cos{beta}={delim{|}{{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}{|}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }

 

II Угол между плоскостями.

Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между векторами нормалей к этим плоскостям.

Пусть плоскость ABC задается точками A,B,C, а плоскость KLM точками K,L,M

1. Находим координаты точек A,B,C.

2. Находим уравнение плоскости .  Для этого координаты точек A,B,C подставляем в уравнение плоскости ABC :  a_1{x}+b_1{y}+c_1{z}+d_1=0. Получем систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, находим коэффициенты  a_1,b_1,c_1.

Коэффициенты a_1,b_1,c_1 в уравнении плоскости являются координатами вектора нормали к плоскости ABC: vec{n_{ABC}}(a_1,b_1,c_1)

3. Находим координаты точек K,L,M

4. Находим уравнение плоскости .  Для этого координаты точек K,L,M подставляем в уравнение плоскости KLM :  a_2{x}+b_2{y}+c_2{z}+d_1=0

Получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, находим коэффициенты  a_2,b_2,c_2.

Коэффициенты a_2,b_2,c_2 в уравнении плоскости являются координатами вектора нормали к плоскости KLM: vec{n_{KLM}}(a_2,b_2,c_2)

5. Косинус угла varphi  между плоскостями находится по такой формуле:

cos{varphi}={delim{|}{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}{|}}/{sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2}sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2+{c_2}^2}}

 

III Угол между прямой и плоскостью.

Зная координаты направляющего вектора прямой и вектора нормали к плоскости,  мы можем найти косинус угла gamma - угла между вектором нормали к плоскости. Но нам нужен угол  beta. sin{beta}=cos{gamma}

Пусть нам нужно найти угол между прямой AB, проходящей через точки  A,B  и плоскостью  KLM, проходящей через точки K,L,M

1. Находим координаты точек A,B.

2. Находим координаты вектора vec{AB}: vec{AB}(x,y,z)

3. Находим координаты точек K,L,M.

4. Находим уравнение плоскости KLM.  Для этого координаты точек K,L,M подставляем в уравнение плоскости KLM :  a{x}+b{y}+c{z}+d=0

Получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, находим коэффициенты  a,b,c.

Коэффициенты a,b,c в уравнении плоскости являются координатами вектора нормали к плоскости : vec{n_{KLM}}(a,b,c)

Косинус угла varphi между вектором нормали к плоскости vec{n_{KLM}}(a,b,c) и направляющим вектором прямой vec{AB}(x,y,z) равен

cos{varphi}={delim{|}{ax+by+cz}{|}}/{sqrt{{a}^2+{b}^2+{c}^2}sqrt{{x}^2+{y}^2+{z}^2}}

Синус угла между прямой AB и плоскостью KLM равен  косинусу varphi

 

Три типа задач на нахождение расстояний в пространстве.

 

IV. Расстояние от точки до плоскости.

Рассстояние rho от точки M_0(x_0,y_0,z_0) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется по такой формуле:

{rho}=delim{|}{ax_0+by_0+cz_0+d}{|}/{sqrt{a^2+b^2+c^2}}

 

V. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть нужно найти расстояние между прямыми a и b:

1. Проводим через любую точку прямой a прямую c параллельную прямой b

2. Прямые a и c задают плоскость alpha, которая параллельна прямой b.

3. Находим расстояние от любой точки прямой b до плоскости alpha. Оно равно расстоянию между прямыми a и b.

Чтобы найти уравнение плоскости alpha, берем три точки, одна из которых принадлежит прямой c, а две другие прямой a.

 

VI. Расстояние от точки до прямой.

Пусть нам надо найти расстояние BDот точки B(x_b;y_b;z_b) до прямой AC, которая определяется точками A(x_a;y_a;z_a) и C(x_c;y_c;z_c):

1. Находим координаты вектора vec{AB}

2. Находим координаты вектора vec{AC}

3. Находим косинус угла alpha между vec{AB} и vec{AC}.

4. Находим синус угла alpha с помощью основного тригонометрического тождества.

5. Находим длину вектора vec{AB}:

delim{|}{vec{AB}}{|}=sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}

6. BD=ABsin{alpha}=delim{|}{vec{AB}}{|}sin{alpha}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Классификация и способы решения задач из Задания 14

Отзывов (8)

  1. Галина Михайловна

    Спасибо за систематизацию

  2. Андрюха

    Спасибо! Очень полезная информация:)

  3. Анна

    Спасибо! Скажите пожалуйста, существует ли способ нахождения объема с помощью координат??

  4. Олег

    Моё мнение что при решении задач с плоскостями , прямыми и точкой проще всего использовать метод координат и соответствующие формулы чем строить сложные рисунки потом доказывать их соответствие условиям задачи и затем высчитывать по формулам Единственная трудность правильно выбрать систему координат ….Как считаете вы???

    • Инна

      Некоторые задачи проще решать без использования метода координат. Во всяком случае, на последних пробниках предлагают именно такие задачи.

      • Елена

        Инна,здравствуйте. Посмотрела Вашу систематизированную подборку по методу координат.Действительно, хорошо. Но Вы правы, сейчас задачи подразумевают умение решать подобные задачи без коорд. метода. Очень бы хотелось познакомиться с методами решения эти задач, не используя коорд. метод. Спасибо.

        • Инна

          Елена, в рубрике С2 большинство типовых задач решены двумя способами. Посмотрите в справочных материалах в разделе Стереометрия.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *