Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Векторы и координаты. Базовые задачи. Задание В3 (2013)

Векторы и координаты. Базовые задачи.

Эта статья является продолжением статьи "Векторы. Действия с векторами", и в ней мы рассмотрим базовые задачи на векторы и координаты:

  • Как находить координаты вектора по координатам его начала и конца
  • Как находить длину вектора, если известны его координаты
  • Как находить координаты вектора суммы и вектора разности  двух векторов
  • Как находить координаты середины отрезка
  • Что такое скалярное произведение векторов
  • Как находить угол между векторами

Действия с векторами и координатами в пространстве совершаются абсолютно по тем же правилам,

что и с векторами на плоскости. Только добавляется третья координата. Поэтому информацию, которая содержится в этой статье можно с успехом применять при решении задач на нахождение расстояний и углов в пространстве из Задания С2 ЕГЭ по математике.

Сначала несколько  слов о том, что такое координаты вектора.

Рассмотрим координатную плоскость и в ней единичные векторы i и j, которые сонаправлены осям координат, и длина которых равна единичному отрезку:

Эти векторы называются базисными. Тогда любой вектор мы можем представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

Мы видим, что vec{a}=2i+3j

vec{b}=2i-3j

vec{c}=-4i+3j

vec{d}=-4i+3j

Для произвольного вектора vec{n}=x{i}+y{j} числа x и y в разложении  вектора vec{n} по базисным векторам называются координатами вектора.

vec{n}(x;y)

Координаты векторов на рисунке выше:

vec{a}(2;3)

vec{b}(2;-3)

vec{c}(-4;3)

vec{d}(-4;3)

Внимание! При записи координат вектора мы всегда на первом месте пишем   коэффициент при  i, а на втором месте коэффициент при  j.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Два равных вектора имеют одинаковые координаты.  Мы видим, что vec{c}=vec{d}

Если начало вектора совпадает с началом координат, то координаты вектора совпадают с координатами его конца:

vec{a}(2;3) и A(2;3)

Если вектор {vec{AB}} задан координатами его начала A(x_A;y_A) и конца B(x_B;y_B), то чтобы найти его координаты, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала:

{vec{AB}}=(x_B-x_A;y_B-y_A)

Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны:

 

Противоположные векторы имеют противоположные координаты:

{vec{AB}}(x;y) {vec{BA}}({-x};{-y})

При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число:

Если {vec{a}}(x;y), то k{vec{a}}=(kx;ky)

Если число  k>0, то векторы vec{a} и k{vec{a}} сонаправлены.

Если число  k<0, то векторы vec{a} и k{vec{a}} направлены в противоположные стороны.

Вектора, которые лежат на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Если вектора {vec{a}}(x_1;y_1) и {vec{b}}(x_2;y_2)  коллинеарны, то их координаты пропорциональны:

{x_1}/{x_2}={y_1}/{y_2}

При вычитании векторов их координаты вычитаются:

Если {vec{a}}(x_1;y_1){vec{b}}(x_2;y_2) и  {vec{c}}=vec{a}-vec{b}, то vec{c}(x_1-x_2;y_1-y_2)

При сложении векторов их координаты складываются:

Если {vec{a}}(x_1;y_1){vec{b}}(x_2;y_2), и  {vec{c}}=vec{a}+vec{b}, то {vec{c}}(x_1+x_2;y_1+y_2)

Пример. vec{a}(1;-2)vec{b}(-3;-5). Найдите координаты вектора vec{a}=2{vec{a}}-{1/2}{vec{b}}

2{vec{a}}=(2(1); 2(-2))=(2;-4);

{1/2}vec{b}=({1/2}(-3);{1/2}(-5))=({-3/2};{-5/2})

vec{c}=2{vec{a}}-{1/2}{vec{b}}=(2-(-3/2);-4-(-5/2))=(3,5;-1,5)

Длина вектора vec{n}(x;y) вычисляется по формуле:  delim{|}{vec{n}}{|}=sqrt{x^2+y^2}

Если вектор  {vec{AB}} задан координатами его начала A(x_A;y_A) и конца B(x_B;y_B), то его длина вычисляется по формуле:

delim{|}{vec{AB}}{|}=sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

С помощью этой же формулы находится длина отрезка AB, или расстояние между точками A и B.

Если точка M является серединой отрезка AB, то ее координаты вычисляются по формуле: M=({x_A+x_B}/2;{y_A+y_B}/2)

Скалярным произведением векторов a(x_1;y_1) и  b(x_2;y_2) называется  число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:

(vec{a}vec{b})={delim{|}{vec{a}}{|}}{delim{|}{vec{b}}{|}}cos{alpha}

Скалярное произведение векторов a(x_1;y_1) и  b(x_2;y_2) равно сумме произведений одноименных координат.

(vec{a}vec{b})=x_1x_2+y_1y_2

Если мы приравняем правые части выражений для скалярного произведения, мы получим формулу для нахождения косинуса угла alpha между векторами  a(x_1;y_1) и  b(x_2;y_2):

cos{alpha}={x_1x_2+y_1y_2}/{{delim{|}{vec{a}}{|}}{delim{|}{vec{b}}{|}}}

Выразим длины векторов через их координаты и получим формулу, выражающую косинус угла между векторами через координаты векторов:

cos{alpha}={x_1x_2+y_1y_2}/{{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2}}}}

Рассмотрим примеры  решения задач из Открытого банка заданий для  подготовки к ЕГЭ  по математике:

B4 № 27726. Вектор vec{AB}  с началом в точке  A(3; 6) имеет координаты (9; 3). Найдите сумму координат точки B.

Пусть координаты точки B(x;y).   Тогда vec{AB}(x-3;y-6)=(9;3)

Отсюда:  x-3=9, значит, x=12

y-6=3, значит, y=9

Сумма координат точки В равна x+y=12+9=21

Ответ: 21.

 

B4 № 27737. Даны вектора vec{a} и vec{b}

Найдите:

1. Сумму координат вектора vec{a}+vec{b}

2. Квадрат длины вектора vec{a}+vec{b}

3. Скалярное произведение векторов vec{a} и vec{b}

4. Угол между векторами vec{a} и vec{b}

1. Найдем координаты векторов vec{a} и vec{b}. Для этого сначала найдем координаты начала и конца каждого вектора:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала:

Координаты вектора vec{a}(4-2;10-4)=(2;6).

Координаты вектора  vec{b}(10-2;6-2)=(8;4)

Координаты вектора  vec{a}+vec{b} равны сумме соответствующих координат векторов vec{a} и vec{b}: (2+8;6+4)=(10;10)

Сумма координат вектора vec{a}+vec{b} равна 20

Ответ: 20.

2. Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат, поэтому квадрат длины вектора vec{a}+vec{b} равен 10^2+10^2=100+100=200

Ответ: 200.

3.Скалярное произведение векторов a(2;6) и  b(8;4) равно сумме произведений одноименных координат.

(vec{a}vec{b})=2*8+6*4=40

Ответ: 40.

4. Косинус угла alpha между векторами vec{a}(2;6) и  vec{b}(8;4) вычисляется по формуле:

cos{alpha}={2*8+6*4}/{sqrt{2^2+6^2}sqrt{8^2+4^2}}=40/{sqrt{40}sqrt{80}}=40/{40{sqrt{2}}}=1/{sqrt{2}}

Отсюда alpha=45{circ}

Ответ: 45{circ}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Векторы и координаты. Базовые задачи. Задание В3 (2013)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *