Векторы и координаты. Базовые задачи.
Эта статья является продолжением статьи "Векторы. Действия с векторами", и в ней мы рассмотрим базовые задачи на векторы и координаты:
- Как находить координаты вектора по координатам его начала и конца
- Как находить длину вектора, если известны его координаты
- Как находить координаты вектора суммы и вектора разности двух векторов
- Как находить координаты середины отрезка
- Что такое скалярное произведение векторов
- Как находить угол между векторами
Действия с векторами и координатами в пространстве совершаются абсолютно по тем же правилам,
что и с векторами на плоскости. Только добавляется третья координата. Поэтому информацию, которая содержится в этой статье можно с успехом применять при решении задач на нахождение расстояний и углов в пространстве из Задания С2 ЕГЭ по математике.
Сначала несколько слов о том, что такое координаты вектора.
Рассмотрим координатную плоскость и в ней единичные векторы i и j, которые сонаправлены осям координат, и длина которых равна единичному отрезку:
Эти векторы называются базисными. Тогда любой вектор мы можем представить в виде линейной комбинации базисных векторов:
Мы видим, что
Для произвольного вектора числа и в разложении вектора по базисным векторам называются координатами вектора.
Координаты векторов на рисунке выше:
Внимание! При записи координат вектора мы всегда на первом месте пишем коэффициент при i, а на втором месте коэффициент при j.
Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Два равных вектора имеют одинаковые координаты. Мы видим, что
Если начало вектора совпадает с началом координат, то координаты вектора совпадают с координатами его конца:
и
Если вектор задан координатами его начала и конца , то чтобы найти его координаты, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала:
Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны:
Противоположные векторы имеют противоположные координаты:
При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число:
Если , то
Если число k>0, то векторы и сонаправлены.
Если число k<0, то векторы и направлены в противоположные стороны.
Вектора, которые лежат на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Если вектора и коллинеарны, то их координаты пропорциональны:
При вычитании векторов их координаты вычитаются:
Если , и , то
При сложении векторов их координаты складываются:
Если , , и , то
Пример. , . Найдите координаты вектора
;
Длина вектора вычисляется по формуле:
Если вектор задан координатами его начала и конца , то его длина вычисляется по формуле:
С помощью этой же формулы находится длина отрезка , или расстояние между точками и .
Если точка является серединой отрезка , то ее координаты вычисляются по формуле:
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:
Скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат.
Если мы приравняем правые части выражений для скалярного произведения, мы получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами и :
Выразим длины векторов через их координаты и получим формулу, выражающую косинус угла между векторами через координаты векторов:
Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
B4 № 27726. Вектор с началом в точке A(3; 6) имеет координаты (9; 3). Найдите сумму координат точки B.
Пусть координаты точки . Тогда
Отсюда: , значит,
, значит,
Сумма координат точки В равна
Ответ: 21.
B4 № 27737. Даны вектора и
Найдите:
1. Сумму координат вектора
2. Квадрат длины вектора
3. Скалярное произведение векторов и
4. Угол между векторами и
1. Найдем координаты векторов и . Для этого сначала найдем координаты начала и конца каждого вектора:
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала:
Координаты вектора .
Координаты вектора
Координаты вектора равны сумме соответствующих координат векторов и :
Сумма координат вектора равна 20
Ответ: 20.
2. Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат, поэтому квадрат длины вектора равен
Ответ: 200.
3.Скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат.
Ответ: 40.
4. Косинус угла между векторами и вычисляется по формуле:
Отсюда
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Добавить комментарий