Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Решение системы неравенств. Задание С3

В этой статье я хочу показать решение вот такой системы неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1+log_{7-x}{(x^2+10x+21)}<=log_{7-x}{(49-x^2)}} {x^3+5x^2+{x^3+32x^2+x-8}/{x-8}<=1} }}{ }

Первое неравенство системы - обычное логарифмическое неравенство с переменным основанием.

Второе - рациональное неравенство, которое решается с помощью метода интервалов. Однако, его довольно трудно решить "в лоб": если попытаться привести дроби к общему знаменателю, то получим в числителе многочлен четвертой степени. Поэтому здесь  придется найти обходные пути.

Итак.

Решим каждое неравенство системы по отдельности. Кажется, что здесь нет никакого подвоха, поэтому начнем с первого. (Замечу, что в некоторых системах неравенств принципиально, с какого неравенства начинать решение)

1. Решим первое неравенство системы:

1+log_{7-x}{(x^2+10x+21)}<=log_{7-x}{(49-x^2)}

Начнем с ОДЗ неравенства. Это лучше делать до всех преобразований, меньше риск приобрести посторонние корни.

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{7-x>0}{7-x<>1}{x^2+10x+21>0} {49-x^2>0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x<7}{x<>6}{(x+3)(x+7)>0} {(7-x)(7+x)>0}}}{ }

Решим каждое неравенство системы:

(x+3)(x+7)>0

(7-x)(7+x)>0Нанесем решения всех неравенств на одну координатную прямую:Нас интересует промежуток, над которым проходит 3 стрелки (по числу неравенств системы).

Итак, ОДЗ логарифмического неравенства: 

Теперь можно преобразовать неравенство. Для начала разложим на множители выражения под знаком логарифмов:

1+log_{7-x}{(x+3)(x+7)}<=log_{7-x}{(7-x)(7+x)}

Представим логарифм произведения в виде суммы логарифмов.

Внимание! Чтобы не потерять корни, мы пользуемся формулой: log_a{(f(x)g(x))}=log_a{delim{|}{f(x)}{|}}+log_a{delim{|}{g(x)}{|}}

1+log_{7-x}{delim{|}{x+3}{|}}+log_{7-x}{delim{|}{x+7}{|}}<=log_{7-x}{delim{|}{7-x}{|}}+log_{7-x}{delim{|}{7+x}{|}}

Раскроем модули с учетом ОДЗ:

(так все подмодульные выражения положительны, раскрываем модули с тем же знаком)

1+log_{7-x}{(x+3)}+log_{7-x}{(x+7)}<=log_{7-x}{(7-x)}+log_{7-x}{(7+x)}

Упростим полученное неравенство. Получим

log_{7-x}{(x+3)}<=0

Приведем правую часть неравенства к логарифму по основанию (7-x):

log_{7-x}{(x+3)}<=log_{7-x}{1}

Получили несложное логарифмическое неравенство с переменным основанием. Так как ОДЗ мы уже нашли, перейдем к неравенству:

(7-x-1)(x+3-1)<=0

(если этот переход непонятен, прочитайте как решать логарифмическое неравенство с переменным основанием)

Упростим:

(6-x)(x+2)<=0

 

(x-6)(x+2)>=0

Изобразим на координатной прямой решение этого неравенства:

Теперь вспомним об ОДЗ и найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ:

Итак, решение первого неравенства системы:(-3;-2]U(6;7)

 

2. Решим  второе неравенство системы:

x^3+5x^2+{x^3+32x^2+x-8}/{x-8}<=1

Разумеется, мы будем решать это неравенство с помощью метода интервалов. Перенесем число 1 влево:

x^3+5x^2+{x^3+32x^2+x-8}/{x-8}-1<=0

Однако, не  будем торопиться приводить  к общему знаменателю. Можете попробовать этот путь,  я пыталась по нему пойти, поэтому предлагаю идти в обход.

Сначала вычтем из дроби число 1:

x^3+5x^2+{x^3+32x^2+x-8-({x-8})}/{x-8}<=0

x^3+5x^2+{x^3+32x^2}/{x-8}<=0

Теперь мы видим, что можем вынести за скобку x^2. (Вспомним, что при решении рациональных неравенств с помощью метода интервалов, все наши действия, в конечном итоге, сводятся к разложению левой части неравенства на множители):

x^2(x+5+{x+32}/{x-8})<=0

Вот теперь можем привести к общему знаменателю:

x^2({(x+5)(x-8)+x+32}/{x-8})<=0

x^2({(x^2-3x-40)+x+32}/{x-8})<=0

x^2({x^2-2x-8}/{x-8})<=0

x^2({(x+2)(x-4)}/{x-8})<=0

Нанесем корни числителя и знаменателя на координатную прямую. Корни числителя закрашиваем, корни знаменателя оставляем выколотыми. Корень x=0 – корень четной кратности, в нем смены знака не происходит:

Получили решение второго неравенства:

(-{infty};-2]U{0}U[4;8)

Здесь главное не забыть записать в ответ число 0 - в этой точке левая часть неравенства  обращается в 0.

Внимание! В случае нестрогого неравенства условие равенства нулю проверяем отдельно.

Теперь совместим решения обоих неравенств на одной координатной прямой и найдем их пересечение:

Ответ: (-3;-2]union(6;7)

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

 

Решение системы неравенств. Задание С3

Отзывов (3)

  1. Елена

    Инна, здравствуйте. Неравенства в системе скорее сложные, чем трудные. Главное контролировать свои шаги при решении первого неравенства. Большое спасибо за подбор материала.
    При наборе скобочки неверно поставили, когда приводили к общему знаменателю и множитель x у числа 32 не нужен, когда вынесли x^2.
    Еще раз спасибо!

    • Инна

      Да, спасибо, исправила.

  2. Ольга

    Вы знаете, изумительные решения. Все четко и ясно. Спасибо огромное.

    P.S. Когда решали неравенство (6-х)(х+2) допустили маленькую неточность со знаками интервалов.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *