В этой статье я хочу показать решение вот такой системы неравенств:
Первое неравенство системы - обычное логарифмическое неравенство с переменным основанием.
Второе - рациональное неравенство, которое решается с помощью метода интервалов. Однако, его довольно трудно решить "в лоб": если попытаться привести дроби к общему знаменателю, то получим в числителе многочлен четвертой степени. Поэтому здесь придется найти обходные пути.
Итак.
Решим каждое неравенство системы по отдельности. Кажется, что здесь нет никакого подвоха, поэтому начнем с первого. (Замечу, что в некоторых системах неравенств принципиально, с какого неравенства начинать решение)
1. Решим первое неравенство системы:
Начнем с ОДЗ неравенства. Это лучше делать до всех преобразований, меньше риск приобрести посторонние корни.
Решим каждое неравенство системы:
Нанесем решения всех неравенств на одну координатную прямую:Нас интересует промежуток, над которым проходит 3 стрелки (по числу неравенств системы).
Итак, ОДЗ логарифмического неравенства:
Теперь можно преобразовать неравенство. Для начала разложим на множители выражения под знаком логарифмов:
Представим логарифм произведения в виде суммы логарифмов.
Внимание! Чтобы не потерять корни, мы пользуемся формулой:
Раскроем модули с учетом ОДЗ:
(так все подмодульные выражения положительны, раскрываем модули с тем же знаком)
Упростим полученное неравенство. Получим
Приведем правую часть неравенства к логарифму по основанию :
Получили несложное логарифмическое неравенство с переменным основанием. Так как ОДЗ мы уже нашли, перейдем к неравенству:
(если этот переход непонятен, прочитайте как решать логарифмическое неравенство с переменным основанием)
Упростим:
Изобразим на координатной прямой решение этого неравенства:
Теперь вспомним об ОДЗ и найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ:
Итак, решение первого неравенства системы:(-3;-2]U(6;7)
2. Решим второе неравенство системы:
Разумеется, мы будем решать это неравенство с помощью метода интервалов. Перенесем число 1 влево:
Однако, не будем торопиться приводить к общему знаменателю. Можете попробовать этот путь, я пыталась по нему пойти, поэтому предлагаю идти в обход.
Сначала вычтем из дроби число 1:
Теперь мы видим, что можем вынести за скобку . (Вспомним, что при решении рациональных неравенств с помощью метода интервалов, все наши действия, в конечном итоге, сводятся к разложению левой части неравенства на множители):
Вот теперь можем привести к общему знаменателю:
Нанесем корни числителя и знаменателя на координатную прямую. Корни числителя закрашиваем, корни знаменателя оставляем выколотыми. Корень – корень четной кратности, в нем смены знака не происходит:
Получили решение второго неравенства:
(;-2]U{0}U[4;8)
Здесь главное не забыть записать в ответ число 0 - в этой точке левая часть неравенства обращается в 0.
Внимание! В случае нестрогого неравенства условие равенства нулю проверяем отдельно.
Теперь совместим решения обоих неравенств на одной координатной прямой и найдем их пересечение:
Ответ: (-3;-2](6;7)
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Инна, здравствуйте. Неравенства в системе скорее сложные, чем трудные. Главное контролировать свои шаги при решении первого неравенства. Большое спасибо за подбор материала.
При наборе скобочки неверно поставили, когда приводили к общему знаменателю и множитель x у числа 32 не нужен, когда вынесли x^2.
Еще раз спасибо!
Да, спасибо, исправила.
Вы знаете, изумительные решения. Все четко и ясно. Спасибо огромное.
P.S. Когда решали неравенство (6-х)(х+2) допустили маленькую неточность со знаками интервалов.