Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
20 Апр 2013
ТРИГОНОМЕТРИЯ

Интересное тригонометрическое уравнение. Снова метод мажорант.

В этой статье я покажу решение тригонометрического уравнения:

(2+1/{cos^2{x}})(4-2cosx)=cos^2{2x}+5cos3x.

Когда я думала над решением этого уравнения, я поначалу пыталась свести все функции к cosx, но когда в результате получила многочлен шестой степени, поняла, что погорячилась.

Опыт показывает, что чем более навороченное получается решение, тем больше вероятность, что нужно решать с помощью метода мажорант, то есть искать ограничения на правую и левую части уравнения.

Итак.

Начнем с ОДЗ: cosx<>0

Оценим левую часть уравнения:

0<=cos^2{x}<=1 doubleright 1/{cos^2{x}}>=1 doubleright 2+1/{cos^2{x}}>=3

 

-1<=cosx<=1 doubleright -2<=-2cosx<=2 doubleright 4-2<=4-2cosx<=4+2 doubleright 2<=4-2cosx<=6

Таким образом, (2+1/{cos^2{x}})(4-2cosx)>=6

Оценим правую часть уравнения:

0<=cos^2{2x}<=1;

-5<=5cos3x<=5 doubleright

-5<=cos^2{2x}+5cos3x<=6

Для нас важно, что левая часть уравнения больше или равна числу 6, а правая - меньше или равна числу 6. Таким образом, равенство возможно, если обе части уравнения одновременно равны 6. То есть одновременно должны выполняться следующие условия:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{cos^2{x}=1} {cosx=1} {cos^2{2x}=1}{cos3x=1}}}{ }

 

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{cos{x}={pm}1} {cosx=1} {cos{2x}={pm}1}{cos3x=1}}}{ }

Общее решение для всех уравнений: x=2{pi}n, n{in}{bbZ}

Ответ: x=2{pi}n, n{in}{bbZ}

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"

Для вас другие записи этой рубрики:

Интересное тригонометрическое уравнение. Снова метод мажорант.
| Отзывов (11)

Отзывов (11)

  1. Леонид Кутний
    в 18:32

    Есть много сайтов, видео уроков, которые предлагают решение задач ЕГЭ. Но данный сайт интересен не столько непосредственным решением задач, как методикой подачи материала, обоснованием решения задач на высоком теоретическом уровне. Я рекомендую данный сайт не только выпускникам, но и студентам — будущим учителям математики, слушателям моих курсов в творческой математической студии, учителям, которые готовят учеников к олимпиадам.Благодарен автору за то, что он своими новинками притягивает меня на страницы данного сайта. Творческих успехов и удачи! С уважением, Л.А.Кутний
    Ответить
    • Инна
      в 05:39

      Спасибо, Леонид, за теплые слова. Мне очень приятно!
      Ответить
  2. Елена
    в 19:51

    И снова метод мажорант! Надо тренировать себя видеть его!!!
    Будем надеяться, что в С1 подобных заданий не будет.
    Ответить
    • Инна
      в 05:38

      Он не всегда виден сразу. Но если в процессе решения получается что-то очень громоздкое, то велика вероятность, что нужно применить этот метод.
      Ответить
  3. Татьяна Владимировна
    в 15:14

    Я далеко уже » взрослый» человек, бывший математик, но с большим удовольствием захожу на этот сайт, и открываю для себя много нового подхода к решению нестандартных задач. Спасибо Вам большое за эти уроки.
    Ответить
    • Инна
      в 15:52

      Вам спасибо за теплые слова!
      Ответить
  4. Кристина
    в 15:21

    Здравствуйте, Инна! Пожалуйста объясните как решать sin4x-sinx=0
    Ответить
  5. Ольга
    в 05:30

    Здравствуйте. Инна, а когда проверяем условие косинус квадрат икс больше либо равно 0, нет ли там ошибки? Все же косинус квадрат находится в знаменателе и это подразумевает не равенство 0 и исключает наличие корня пи/2.
    Ответить
    • Инна
      в 10:30

      Строго говоря, надо включить ОДЗ. Спасибо, Ольга, за замечание!
      Ответить
  6. Наталья
    в 08:43

    Красивое решение. Спасибо.
    Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *