Решим задачу из Задания С2 для подготовки к ЕГЭ по математике:
На ребре правильной четырехугольной пирамиды с вершиной взята точка так, что . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую параллельно прямой , если .
1. Построим сечение.
Точки и принадлежат плоскости сечения, соединим их:
Точка - точка пересечения диагоналей основания пирамиды. - высота пирамиды. - точка пересечения высоты пирамиды и прямой :
Проведем через точку прямую , параллельную . Точка - точка пересечения этой прямой с ребром , а точка - с ребром :
Через пересекающиеся прямые и проведем плоскость. Четырехугольник - искомое сечение:
2. Найдем площадь четырехугольника .
Докажем, что его диагонали перпендикулярны. Опустим перпендикуляр из точки на основание призмы. Точка - основание перпендикуляра.
- проекция наклонной . , так в основании нашей правильной пирамиды лежит квадрат, а диагонали в квадрате перпендикулярны. По теореме о трех перпендикулярах также перпендикулярна . Но || - по построению, следовательно, .
Найдем диагонали нашего сечения.
по трем сторонам, следовательно, - прямоугольный.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника получим:
Чтобы найти длину отрезка , найдем, в каком отношении точка делит отрезок . Вынесем треугольник "со всем фаршем":
Проведем через точку прямую параллельно прямой и продолжим прямую до пересечения с ней.
Треугольник подобен треугольнику , и . Обозначим , тогда :
Теперь рассмотрим подобные треугольники и :
. Следовательно,
Рассмотрим треугольник , в котором || :
Треугольник подобен треугольнику
Следовательно,
Итак,
Ответ: 35
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Превосходно! Большое спасибо Вам!
В последней строке решения помарки в записях, всё перепутано)
Инна, небольшие погрешности при наборе. Треугольник PMQ, где подобие с треугольником АМО. И в последней строке множители из знаменателя надо поднять в числитель. С уважением Елена.
Последняя строчка: не KO, а KL. А в целом спасибо. Но задание на самом деле очень непростое, не хотелось бы, чтобы такое попалось на ЕГЭ. С4 хватит сполна, а тут еще С2 такого уровня.
Инна, огромное Вам спасибо, вы проделываете титаническую работу. Материал великолепный и так все понятно объяснено.
Думаю, что проще было бы так.В треугольнике АРС через О провести отрезок ОО1, параллельно АТ, по теореме Фалеса ОО1 — средняя линия в треугольнике АТС, значит ТО1=3х, РО1=4х. Треугольники РМТ и ОРО1 подобны и РМ:МО=1:4.
Да, спасибо
а вот как построить сечение параллелепипеда или куба? с пирамидой — то разобралась
Это смотря какое сечение. Сечения бывают разные.
Инна, огромное Вам спасибо. Вы так доступно все объясняете.