Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Задание С3 ЕГЭ 2013

Решим Задание С3 из  реального ЕГЭ по математике 3 июня 2013 года.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_{3-x}{{x+4}/{(x-3)^2}}>=-2} {x^3+6x^2+{21x^2+3x-12}/{x-4}<=3} }}{ }

Решим каждое неравенство системы по отдельности. Начнем с первого неравенства.

log_{3-x}{{x+4}/{(x-3)^2}}>=-2

Перед нами логарифмическое неравенство с переменным основанием.  Можно было бы сразу записать систему, эквивалентную нашему неравенству, но здесь имеет смысл сначала его преобразовать. И поэтому, до всех преобразований, найдем ОДЗ неравенства.

ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{3-x>0} {{{x+4}/{(x-3)^2}}>0} {3-x<>1}}}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{ x<3} {x>-4} {x<>3}{x<>2}}}{ }

Изобразим ОДЗ первого неравенства на координатной прямой:

Теперь воспользуемся свойствами логарифмов и упростим левую часть неравенства:

Внимание! Чтобы не произошло сужение ОДЗ, мы логарифм произведения двух выражений представляем в виде суммы логарифмов следующим образом:

log_{a}{(f(x)*g(x))}=log_{a}{delim{|}{f(x)}{|}}+log_{a}{delim{|}{g(x)}{|}}

log_{3-x}{delim{|}{x+4}{|}}-log_{3-x}{delim{|}{(x-3)^2}{|}}>=-2

Замечу, что во втором логарифме модуль было ставить не обязательно, поскольку квадрат любого выражения величина неотрицательная.

Но при вынесении квадрата за знак логарифма ставить знак модуля ОБЯЗАТЕЛЬНО!

log_{3-x}{delim{|}{x+4}{|}}-2log_{3-x}{delim{|}{x-3}{|}}>=-2

Раскроем модули.

Согласно ОДЗ:

x>-4, следовательно, x+4>0 и delim{|}{x+4}{|}=x+4

x<3, следовательно, x-3<0 и delim{|}{x-3}{|}=3-x

Получим: log_{3-x}{(x+4)}-2log_{3-x}{(3-x)}>=-2

log_{3-x}{(x+4)}-2>=-2

log_{3-x}{(x+4)}>=0

Итак, мы получили классическое логарифмическое неравенство с переменным основанием:

log_{3-x}{(x+4)}>=log_{3-x}{1}

Так как ОДЗ мы уже нашли, перейдем к неравенству:

(3-x-1)(x+4-1)>=0

(2-x)(x+3)>=0:Учтем ОДЗ:Итак, решение первого неравенства: [-3;2)

Решим второе неравенство:

x^3+6x^2+{21x^2+3x-12}/{x-4}<=3

Сначала перенесем число 3 влево и вычтем его из дроби:

x^3+6x^2+{21x^2+3x-12-3x+12}/{x-4}<=0

x^3+6x^2+{21x^2}/{x-4}<=0

Вынесем за скобку x^2:

{x^2}(x+6+{21}/{x-4})<=0

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

{x^2}({x^2-4x+6x-24+21}/{x-4})<=0

{x^2}({x^2+2x-3}/{x-4})<=0

{(x^2)}{(x-1)(x+3)}/{x-4}<=0

Решим неравенство с помощью метода интервалов. Нанесем корни на ось и расставим знаки (помним, что корень - корень четной кратности, в этой точке смены знака не происходит):

Итак, решение второго неравенства системы: (-infty;-3]union{0}union[1;4)

Совместим решения первого и второго неравенств на одной координатной прямой:

Не забываем записать в ответ точки {0} и {-3}:

Ответ: [1;2)union{-3}union{0}.

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Задание С3 ЕГЭ 2013

Отзывов (32)

  1. Дмитрий

    Здравствуйте, Инна Владимировна! Помогите, пожалуйста, решить задачу. В книжный магазин привезли книги двух авторов: в упаковке книг первого автора — 8 книг, а второго — 12 книг. Всего привезли 288 книг обоих авторов. Учитывая, что количества упаковок относятся как 3:4, найдите по отдельности количества книг первого и второго авторов.

    • Инна

      3х упаковок книг первого автора и 4х упаковок второго.
      8*3x+12*4x=288

  2. Бэлла

    почему ноль тоже включили?

  3. Алибек

    почему в решении первого неравенства получается (3-x-1)(x+4-1)>=0

  4. Никита

    Скажите, пожалуйста, почему когда мы представили логарифм в виде разности логарифмов появился модуль ?

    • Инна

      В противном случае происходит сужение ОДЗ: ab>0, если a и b имеют одинаковые знаки: оба положительны, или оба отрицательны. Если мы модуль не ставим, то второй случай (оба отрицательны) отбрасываем.

      • Никита

        Понял.
        Можете помочь ?
        Я решал вот это задание http://reshuege.ru/problem?id=500449.
        Во втором неравенстве я потерял (-1, 0). Помогите, пожалуйста, ошибку найти.

        • Никита

          Вроде бы разобрался. Нужно в основании логарифма икс в квадрате оставить, тогда верный ответ. А как узнать, когда теряются корни после преобразований ? Вот тут потерялся интервал, когда я степень из под основания логарифма вынес.

        • Инна

          Во втором случае в основании логарифма |x|. Одз найдено неверно: х не равен 0, х не равен +-1.

          • Никита

            Спасибо !

  5. HLR

    Спасибо большое!

  6. Виктория

    В решении 2ого неравенства системы вы вычитаете 3..А как так получается ,и по какому правилу, и куда девается эта 3?Ничего не понятно.

    • Инна

      Сначала перенесем число 3 влево и вычтем его из дроби:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *