Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Решение систем линейных уравнений

Существует три способа решения систем линейных уравнений:

  • Способ подстановки
  • Способ сложения
  • Графический способ.

Остановимся на каждом из них подробно.

1. Способ подстановки удобно использовать в том случае, если в одном из уравнений системы коэффициент при одном из неизвестных равен 1. Тогда это неизвестное удобно выразить через другое.

Решим систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+2y=-1} {3x-4y=17} }}{ }

Заметим, что в первом уравнении системы коэффициент при x равен 1, поэтому мы легко можем выразить x через y:

x=-1-2y.

Подставим это выражение для x вместо переменной x во второе уравнение системы:

3(-1-2y)-4y=17

Решим это уравнение относительно y:

-3-6y-4y=17

-10y=20

y=-2.

Теперь вспомним, что x=-1-2y. Подставим в правую часть равенства вместо переменной y ее значение и найдем значение x:

x=-1-2(-2)=3

Внимание! При записи ответа на первом месте всегда указываем значение переменной x, а на втором y

Ответ: (3;-2)

2. Способ сложения более универсален, нежели способ подстановки.

Решим систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{12x-5y=7} {11x+3y=14} }}{ }

Мы имеем право умножать каждое уравнение системы на число и складывать уравнения. Воспользуемся этим правом.

Нам нужно сделать так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных были равны по модулю, но противоположны по знаку. Тогда при  сложении уравнений это неизвестное пропадет.

Сделаем так, чтобы, например, коэффициенты при y были равны по модулю, но противоположны по знаку. Для этого нам нужно первое уравнение системы умножить на 3, а второе на 5. Получим систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{36x-15y=21} {55x+15y=70} }}{ }

Сложим уравнения системы, получим

91x=91, отсюда x=1

Теперь подставим это значение x, например, в первое уравнение исходной системы:

12*1-5y=7;

-5y=-5;

y=1

Ответ: (1;1)

А теперь решим такую систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{1/x}-{1/y}=3} {{2/x}-{3/y}=7} }}{ }

Уравнения системы не являются линейными. Но мы можем сильно упростить себе жизнь, если введем замену переменной. Поэтому прежде чем решать эту систему, введем замену {1/x}=a; {1/y}=b. Получим систему линейных уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a-b=3} {2a-3b=7} }}{ }

Мы можем решать эту систему как способом подстановки (коэффициент при x в первом уравнении равен 1, а при y -1), так и способом сложения.

Решим способом сложения. Умножим первое уравнение на -2, тогда коэффициенты при x будут равны по модулю, но противоположны по знаку.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-2a+2b=-6} {2a-3b=7} }}{ }

Сложим уравнения. Получим:

-b=1; b=-1

Подставим это значение b в первое уравнение исходной системы: a-(-1)=3; a=2

Итак, a=2; b=-1

Вернемся к исходной переменной:

{1/x}=2; {1/y}=-1

отсюда x=1/2; y=-1

Ответ: (1/2; -1)

3. Графический способ.

Чтобы решить систему линейных уравнений графическим способом, нужно

  • в каждом уравнении выразить y
  • построить графики соответствующих функций
  • найти координаты точки пересечения графиков.

Решим систему

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x-y=3} {y+x=3} }}{ }

1. В каждом уравнении выразим y:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y=2x-3} {y=-x+3} }}{ }

2. Построим графики этих функций:

Координаты точки пересечения графиков (2;1)

Ответ: (2;1)

И.В. Фельдман, репетитор по математике

 

Решение систем линейных уравнений

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *