Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Решение нелинейных систем уравнений. Часть 1

Среди нелинейных систем уравнений встречаются довольно сложные, для решения которых нужно найти какой-то нестандартный ход, или скомбинировать известные приемы  решения. В том и другом случае нужно хорошо ориентироваться в типах нелинейных систем уравнений и стандартных подходах к их решению.

В этой статье я расскажу о способах решения различных типов нелинейных систем уравнений. Продолжение статьи здесь.

1. Распадающиеся системы.

В системах этого типа левую часть одного из уравнений системы (при условии, что в правой части стоит ноль) можно разложить на множители. И тогда это уравнение распадается на более простые, и, соответственно, вся система поступает так же.

Решим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y^2-x^2=4-4x} {x^2+y^2-3xy=4} }}{ }

Заметим, что в первом уравнении системы мы можем перенести все влево и разложить левую часть на множители:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y^2-x^2-4+4x=0} {x^2+y^2-3xy=4} }}{ };    delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y^2-(x^2-4x+4)=0} {x^2+y^2-3xy=4} }}{ }delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y^2-(x-2)^2=0} {x^2+y^2-3xy=4} }}{ }delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(y-x+2)(y+x-2)=0} {x^2+y^2-3xy=4} }}{ }

 

Чтобы найти, при каком значении неизвестного произведение двух множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю:

(y-x+2)(y+x-2)=0, если y-x+2=0 или y+x-2=0.

То есть наша система распадается на две более простые:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y-x+2=0} {x^2+y^2-3xy=4} }}{ } (1) или delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y+x-2=0} {x^2+y^2-3xy=4} }}{ } (2)

Решим первую систему:

В первом  уравнении выразим y через x и подставим во второе уравнение:

y=x-2

x^2+(x-2)^2-3x(x-2)=4

Решим второе уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим уравнение:

x^2+x^2-4x+4-3x^2+6x=4

-x^2+2x=0

Отсюда x_1=0x_2=2;

так как y=x-2, найдем соответствующие значения y:

y_1=-2y_2=0

Решим вторую систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y+x-2=0} {x^2+y^2-3xy=4} }}{ } (2)

В первом  уравнении выразим y через x и подставим во второе уравнение:

y=-x+2

x^2+(-x+2)^2-3x(-x+2)=4

Решим второе уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим уравнение:

x^2+x^2-4x+4+3x^2-6x=4

5x^2-10x=0

Отсюда x_1=0x_2=2;

так как y=-x+2, найдем соответствующие значения y:

y_1=2y_2=0

Ответ: (0;-2); (2;0); (0;2)

2. Симметрические системы.

Симметрическая система замечательна тем, что если мы в ней поменяем местами x и y, то система не изменится.

Причем, если пара (х;у) является решением  симметрической системы уравнений, то пара (у;х) также будет решением этой системы.

Симметрические системы решаются с помощью следующей замены:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y+x=a} {xy=b} }}{ }

Есть некоторые стандартные преобразования, помогающие ввести подобную замену, которые нужно знать:

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy

x^3+y^3=(x+y)((x+y)^2-3xy)

Решим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2+y^2+5x+5y+3xy=15} {x^2+y^2-x-y+xy=1} }}{ }

Подготовим систему к замене delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y+x=a} {xy=b} }}{ }:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(x+y)^2-2xy+5(x+y)+3xy=15} {(x+y)^2-2xy-(x+y)+xy=1} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(x+y)^2+5(x+y)+xy=15} {(x+y)^2-(x+y)-xy=1} }}{ }

Введем замену:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a^2+5a+b=15} {a^2-a-b=1} }}{ } (1)

Сложим уравнения системы. Получим:

2a^2+4a=16. Решим это уравнение:

a^2+2a-8=0

a_1=-4; a_2=2

Подставим эти значения a во второе уравнение системы (1) и найдем b

1. a_1=-4

(-4)^2-(-4)-b=1

b_1=19

2. a_2=2

(2)^2-(2)-b=1

b_2=1

Вернемся к исходной переменной. Получим две системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y+x=-4} {xy=19} }}{ } и delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y+x=2} {xy=1} }}{ }

Первая система решений не  имеет, решение второй системы (1;1)

Ответ: (1;1)

Продолжение 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Решение нелинейных систем уравнений. Часть 1

Отзывов (3)

  1. Алексей

    Пока все ясно и понятно,прозрачно ,как в стекле.Большое спасибо .Алексей.

  2. татьяна

    Инна Владимировна, помогите решить симметрическую систему уравнений
    1 (х+2у)(х+3у)-2х-5у=1
    2 (х+2у)^2+(x+3y)^2=13

    • Инна

      Умножить первое уравнение на 2 и сложить со вторым,выделить полный квадрат, затем ввести замену t=2x+5y.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *