Решение нелинейных систем уравнений.
Продолжим изучение способов решения нелинейных систем уравнений. О том, как решать распадающиеся и симметрические системы я рассказывала здесь.
В этой статье мы рассмотрим решение систем однородных уравнений и метод почленного умножения и деления уравнений системы.
3. Системы однородных уравнений.
Классическое однородное уравнение с двумя неизвестными имеет вид:
Заметим, что в однородном уравнении
- степень каждого одночлена равна двум
- свободный член отсутствует
- в правой части стоит ноль.
Мы не можем решить это уравнение, но мы можем выразить одно неизвестное через другое, и это сильно облегчит нашу жизнь при решении системы.
Разделим обе части уравнения на . (Мы можем это сделать, так как не является корнем уравнения.)
Получим уравнение:
Введем замену и решим это уравнение относительно переменной . Таким образом мы получим простую зависимость переменной от переменной .
Решим систему уравнений:
Первое уравнение системы обладает всеми признаками однородного уравнения. Разделим обе части первого уравнения на :
Введем замену и решим это уравнение относительно переменной .
Заметим, что 3-1=2 (), поэтому ;
Отсюда и
или и .
Мы выразили одну переменную через другую. Рассмотрим оба случая.
1.
Подставим вместо во второе уравнение системы:
- нет решений.
2.
Подставим вместо во второе уравнение системы:
Соответственно
Ответ: (1;3); (-1;-3)
Рассмотрим еще один пример системы уравнений, приводящихся к однородным. Решим систему уравнений:
Все было бы прекрасно, если бы в правой части одного из уравнений стоял бы ноль. Чтобы это получить, домножим уравнения так, чтобы числа, стоящие в правой части уравнений были равны по модулю, но противоположны по знаку. А потом сложим получившиеся уравнения.
Умножим первое уравнение на -2, а второе на 3. Получим:
Сложим уравнения системы. Получим:
. Отсюда или .
1.
Подставим в первое уравнение исходной системы:
2.
Подставим вместо в первое уравнение системы:
Ответ: (0;1); (0;-1); (1;1); (-1;-1)
4. Системы, которые решаются почленным умножением и делением уравнений системы.
Решим систему уравнений:
Разложим на множители левую часть каждого уравнения:
Разделим второе уравнение на первое. Получим:
Отсюда,
Подставим вместо в первое уравнение исходной системы:
Решим это уравнение относительно :
;
Тогда
;
Ответ: (2;1); (1;2)
5. Системы, решаемые с помощью замены переменной.
Честно говоря, выделять замену переменной в отдельный метод как-то рука не поднимается, поскольку этот универсальный прием во всех случаях сильно облегчает нам жизнь.
Решим систему уравнений:
(1)
Замена переменной достаточно очевидна:
Пусть
;
Получим систему линейных уравнений:
(2)
Решим эту систему методом сложения. Сделаем так, чтобы коэффициенты при были равны по модулю, но противоположны по знаку. Для этого умножим первое уравнение системы на 2, а второе на 3:
Сложим уравнение системы. Получим:
. Отсюда .
Подставим это значение в первое уравнение системы (2):
;
Вернемся к исходным переменным:
Отсюда:
(3)
Получили систему уравнений, приводящихся к однородным. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -7:
Сложим уравнения системы и получим однородное уравнение с двумя неизвестными:
Разделим обе части уравнения на :
Введем замену , и решим квадратное уравнение относительно :
;
;
;
Мы выразили одну переменную через другую. Рассмотрим каждый случай.
1.
Подставим вместо во второе уравнение системы (3). (В этом уравнении переменная в одном экземпляре и в первой степени.)
, . Отсюда ;
2.
Подставим вместо в первое уравнение системы (3). (В этом уравнении переменная в одном экземпляре и в первой степени.)
;
;
Ответ: (3,5;-0,5); (-3,5;0,5); (1;2); (-1;-2)
6. Комбинированные способы решения.
Рассмотрим решение такой системы:
Выделим полный квадрат в каждом уравнении:
Сложим уравнения системы:
Введем замену: , тогда
Получим:
Перенесем все влево и сгруппируем:
Отсюда . Тогда
Ответ:
помогите решить систему x^2+y^2+z^2=12 ; xy+xz+yz=12
Умножьте второе уравнение на 2 и сложите с первым, получится полный квадрат трехчлена. Тогда x+y+z=6 или -6.