Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции.

В этой статье мы рассмотрим, что такое асимптота графика функции,  и как ее находить.

Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции.

Асимптоты бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Если мы посмотрим на хорошо известный нам график функции , то увидим, что график этой функции бесконечно близко приближается к прямой (ось ОY) - это вертикальная асимптота, и к прямой (ось ОХ) - это горизонтальная асимптота:

В общем случае горизонтальная асимптота  - это прямая, параллельная оси OX. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид , где - число, к которому стремятся значения функции , когда стремится к .

То есть .

Вертикальная асимптота - это прямая, параллельная оси OY. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид . Здесь  - значение переменной ,  при котором функция  не определена. Как правило, это ноль знаменателя. Если значение стремится к точке, в которой знаменатель равен нулю, то абсолютное значение дроби при этом неограниченно возрастает.

В некоторых случаях для построения графика функции бывает достаточно найти асимптоты графика.

Рассмотрим дробно-линейную функцию. В общем виде уравнение дробно-линейной функции имеет вид: .

График дробно-линейной функции - это гипербола. Как мы знаем, гипербола имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.

Заметим, что при знаменатель равен нулю, в этой точке функция   не определена. Поэтому прямая   - вертикальная асимптота.

Степень в числителе дроби    равна степени в знаменателе. Поэтому при числитель и знаменатель растут с одинаковой скоростью, и

и  уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид .

График дробно-линейной функции   - это гипербола, симметричная относительно точки пересечения асимптот графика. Поэтому, чтобы построить график, нам остается только выяснить его расположение относительно этой точки.

Для этого достаточно найти точки пересечения графика с осями координат.

Точка пересечения с осью OX (y=o): .

Точка пересечения с осью OY (x=0): .

Построим график функции . Это дробно-линейная функция и ее график  - гипербола.

Найдем горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Уравнение горизонтальной асимптоты: ;

уравнение вертикальной асимптоты (ноль знаменателя):

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ: ;

с осью OY(x=0): .

То есть график функции выглядит как-то так:

И, наконец, наклонная асимптота. Наклонная асимптота - это к прямая, к кторой стремится график функции на бесконечности.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Коэффициенты и вычисляются следующим образом:

Найдем асимптоты графика функции

1. Начнем с области определения функции. Функция не определена в точке , следовательно прямая является вертикальной асимптотой.

2. Степень числителя дроби на единицу больше степени знаменателя, поэтому предел этого отношения при отношения равен бесконечности. Следовательно, график функции не имеет горизонтальной асимптоты.

3. Попробуем найти наклонную асимптоту.

(Предел функции равен отношению коэффициентов при максимальных степенях в числителе и знаменателе дроби).

Итак, уравнение наклонной асимптоты:

График функции , построенный с помощью специальной программы, показывает, что асимптоты были найдены верно:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.